الدرس الثاني: التناسب

١) إذا كان س، ص، ع، ل كميات متناسبة فأثبت أن:

أ) ${\left(\frac{س + ص}{ع + ل}\right)}^{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{ص}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}{ع}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣} {ل}^{\mathrm{٢}}}$

$\frac{س}{ص}=\frac{ع}{ل}$ = م (م $\ne$ ٠)

س = ص م، ع = ل م

الأيمن = ${\left(\frac{ص م + ص}{ل م + ل}\right)}^{\mathrm{٢}}$= ${\left(\frac{س + ص}{ع + ل}\right)}^{\mathrm{٢}}$= ${\left(\frac{ص (\bcancel{م + \mathrm{١})}}{ل \bcancel{(م + \mathrm{١})}}\right)}^{\mathrm{٢}}$=${\left(\frac{ص}{ل}\right)}^{\mathrm{٢}}$= $\frac{{ص}^{\mathrm{٢}}}{{ل}^{\mathrm{٢}}}$$\leftarrow$(١)

الأيسر = $\frac{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{ص}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}{ع}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣} {ل}^{\mathrm{٢}}}$ = $\frac{\mathrm{٢}{ص}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣} {ص}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}{ع}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{ل}^{\mathrm{٢}}} = \frac{{ص}^{\mathrm{٢}} (\bcancel{\mathrm{٢}{م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣})}}{{ل}^{\mathrm{٢}} \bcancel{(\mathrm{٢}{م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣})}} = \frac{{ص}^{\mathrm{٢}}}{{ل}^{\mathrm{٢}}}$$\leftarrow$ (٢)

من ١ و٢ الطرفان متساويان

ب) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٥}{س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{ع}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٥}{ص}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{ل}^{\mathrm{٣}}}}$ = $\frac{س + ع}{ص + ل}$

$\frac{س}{ص}=\frac{ع}{ل}$ = م (م $\ne$ ٠)

س = ص م، ع = ل م

الأيمن = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٥}{س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{ع}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٥}{ص}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{ل}^{\mathrm{٣}}}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{{م}^{\mathrm{٢}} \bcancel{(\mathrm{٥}{ص}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{ل}^{\mathrm{٣}})}}{\bcancel{(\mathrm{٥}{ص}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{ل}^{\mathrm{٣}})}}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{{م}^{\mathrm{٣}}}$ = م (١)

الأيسر = $\frac{س + ع}{ص + ل}$ = $\frac{م \bcancel{(ص + ل)}}{ \bcancel{(ص + ل)}}$ = م (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

٢) إذا كان $\frac{س}{\mathrm{٣}}=\frac{ص}{\mathrm{٥}}=\frac{ع}{\mathrm{٥}}$ فأثبت أن:

أ) $\frac{\mathrm{٢}ص - ع}{\mathrm{٣}س - \mathrm{٢}ص + ع}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{س}{\mathrm{٣}}=\frac{ص}{\mathrm{٥}}=\frac{ع}{\mathrm{٥}}$ = م (م $\ne$ ٠)

س = ٣، ص = ٤م، ع = ٥م

الأيمن = $\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣}م - \mathrm{٥}م}{\mathrm{٣} \times \mathrm{٣}م - \mathrm{٢} \times \mathrm{٤}م + \mathrm{٥}م}=\frac{\mathrm{٨}م - \mathrm{٥}م}{\mathrm{٩}م - \mathrm{٨}م + \mathrm{٥}م}=\frac{\mathrm{٣}\bcancel{ م}}{\mathrm{٦} \bcancel{م}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ الأيسر.

ب) $\sqrt{\mathrm{٣}{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}{ص}^{\mathrm{٢}} + {ع}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢س + ص

س = ٣، ص = ٤م، ع = ٥م

الأيمن = $\sqrt{\mathrm{٣}{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}{ص}^{\mathrm{٢}} + {ع}^{\mathrm{٢}}}$ = $\sqrt{\mathrm{٣} \times \mathrm{٩} {م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣} \times \mathrm{١٦} {م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٢٥} {م}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٢٧}{م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٤٨}{م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٢٥}{م}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{١٠٠} {م}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٠ م $\leftarrow$ (١)

الأيسر = ٢س + ص = ٢ × ٣ م + ٤م = ٦م + ٤م = ١٠م $\leftarrow$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

٣) إذا كانت أ، ب، جـ، د كميات متناسبة فأثبت أن:

أ) $\frac{أ \mathrm{جـ}}{ب د}={\left(\frac{أ \mathrm{جـ}}{ب - د}\right)}^{\mathrm{٢}}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{\mathrm{جـ}}{د}$ = م (م $\ne$)

أ = ب م، جـ = ء م

الأيمن = $\frac{أ \mathrm{جـ}}{ب د}=\frac{ب م \times ء م}{ب ء}=\frac{\bcancel{ب ء }{م}^{\mathrm{٢}}}{\bcancel{ب ء}}$ = م^٢ (١)

الأيسر = ${\left(\frac{أ \mathrm{جـ}}{ب - د}\right)}^{\mathrm{٢}}={\left(\frac{ب م - ء م}{ب - ء}\right)}^{\mathrm{٢}}={\left(\frac{م (\bcancel{ب - ء)}}{\left(\bcancel{ب - ء}\right)}\right)}^{\mathrm{٢}}$= م^٢ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

ب) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٥}{أ}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٥}{ب}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{د}^{\mathrm{٣}}}}=\frac{أ + \mathrm{جـ}}{ب + د}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{\mathrm{جـ}}{د}$ = م (م $\ne$)

أ = ب م، جـ = ء م

الأيمن = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٥}{أ}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٥}{ب}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{د}^{\mathrm{٣}}}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٥}{ب}^{\mathrm{٣}}{م}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{ء}^{\mathrm{٣}}{م}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٥}{ب}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{د}^{\mathrm{٣}}}}$= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{{م}^{\mathrm{٣}} \bcancel{(\mathrm{٥}{ب}^{\mathrm{٣}}- \mathrm{٣}{ء}^{\mathrm{٣}})}}{\bcancel{\mathrm{٥}{ب}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٣}{د}^{\mathrm{٣}}}}}=\sqrt[\mathrm{٣}]{{م}^{\mathrm{٣}}}$ = م (١)

الأيسر = $\frac{ب م + ء م}{ب + ء}=\frac{م (ب + ء)}{(ب + ء)}$= م (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان

٤) إذا كانت ب هي الوسط المتناسب بين أ، جـ فأثبت أن:

أ) $\frac{أ + ب + \mathrm{جـ}}{{أ}^{-\mathrm{١}} + {ب}^{-\mathrm{١}} + {\mathrm{جـ}}^{-\mathrm{١}}} = {ب}^{\mathrm{٢}}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}$ = م (م $\ne$)

ب = جـ م، أ = جـ م^٢

الطرف الأيسر = ب^٢

= جـ^٢ م^٢$\leftarrow$ (١)

الأيمن = $\frac{\mathrm{جـ} {م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{جـ} م + \mathrm{جـ}}{{\mathrm{جـ}}^{-\mathrm{١}} {م}^{-\mathrm{٢}} + {\mathrm{جـ}}^{-\mathrm{١}} {م}^{-\mathrm{١}} + {\mathrm{جـ}}^{-\mathrm{١}}}$ = $\frac{\mathrm{جـ} \left(\bcancel{{م}^{\mathrm{٢}} + م + \mathrm{١}}\right)}{{\mathrm{جـ}}^{-\mathrm{١}} {م}^{-\mathrm{٢}} (\bcancel{\mathrm{١} + م + {م}^{\mathrm{٢}})}}$ = جـ × جـ × م^٢ = جـ^٢ م^٢$\leftarrow$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

ب) $\frac{\mathrm{٢}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٣}{ب}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{أ}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{جـ}}{أ}=\frac{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}{{ب}^{\mathrm{٢}}}$

أ ء ب ء جـ في تناسب متسلسل

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}$ = م (م $\ne$)

ب = جـ م، أ = جـ م^٢

الطرف الأيمن = $\frac{\mathrm{٢}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٣}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}{م}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}{م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}{م}^{\mathrm{٤}}}$ = $\frac{\bcancel{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}} \bcancel{(\mathrm{٢} -\mathrm{٣}{م}^{\mathrm{٢}})}}{\bcancel{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}{م}^{\mathrm{٢}}(\bcancel{\mathrm{٢} -\mathrm{٣}{م}^{\mathrm{٢}})}}= \frac{\mathrm{١}}{{م}^{\mathrm{٢}}}$ (١)

الطرف الأوسط = $\frac{\mathrm{جـ}}{أ}=\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{جـ} {م}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{١}}{{م}^{\mathrm{٢}}}$ (٢)

الطرف الأيسر = $\frac{\bcancel{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}}{\bcancel{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} }{م}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{١}}{{م}^{\mathrm{٢}}}$ (٣)

من ١) و٢) و٣) الأطراف متساوية.

٥) إذا كانت أ، ب، جـ، د في تناسب متسلسل؛ فأثبت أن:

أ) $\frac{أ ب - \mathrm{جـ} د}{{ب}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}=\frac{أ + \mathrm{جـ}}{ب}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{جـ}}{ء}$ = م (م $\ne$ ٠)

جـ = ء م، ب = ء م^٢، أ = ء م^٣

الأيمن = $\frac{ء {م}^{\mathrm{٣}} \times ء {م}^{\mathrm{٢}}- ء م \times ء}{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٤}} - {ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}}}=\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٥}} - {ء}^{\mathrm{٢}} م}{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٤}} - {ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}}} = \frac{{ء}^{\mathrm{٢}} م ({م}^{\mathrm{٤}} - \mathrm{١})}{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}} ({م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١})}=\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} م ({م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١}) ({م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١})}{{}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}} ({م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١})}$ = $\frac{{م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}{م}$ (١)

الأيسر = $\frac{ء {م}^{\mathrm{٣}} + ء م}{ء {م}^{\mathrm{٢}}}=\frac{ء م ({م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١})}{ء {م}^{\mathrm{٢}}}$ = $\frac{{م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}{م}$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان

ب) $\frac{{أ}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{د}^{\mathrm{٢}}}=\frac{ب}{د}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{جـ}}{ء}$ = م (م $\ne$ ٠)

جـ = ء م، ب = ء م^٢، أ = ء م^٣

الأيسر = $\frac{ب}{ء}=\frac{ء {م}^{\mathrm{٢}}}{ء}$ = م^٢ (١)

الأيمن = $\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٦}} - \mathrm{٣} {ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}}}{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٤}} - \mathrm{٣} {ء}^{\mathrm{٢}}}=\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}} ({م}^{\mathrm{٤}} - \mathrm{٣})}{{ء}^{\mathrm{٢}} ({م}^{\mathrm{٤}} - \mathrm{٣})}=$م^٢ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان

جـ) $\frac{أ}{ب + د}=\frac{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} د + {د}^{\mathrm{٣}}}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{جـ}}{ء}$ = م (م $\ne$ ٠)

جـ = ء م، ب = ء م^٢، أ = ء م^٣

الأيمن = $\frac{ء {م}^{\mathrm{٣}}}{ء {م}^{\mathrm{٢}} + ء}=\frac{ء {م}^{\mathrm{٣}}}{ء ({م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١})}=\frac{{م}^{\mathrm{٣}}}{{م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}$ (١)

الأيسر = $\frac{{ء}^{\mathrm{٣}} {م}^{\mathrm{٣}}}{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}} \times ء + {ء}^{\mathrm{٣}}}=\frac{{ء}^{\mathrm{٣}} {م}^{\mathrm{٣}}}{{ء}^{\mathrm{٣}} {م}^{\mathrm{٢}} + {ء}^{\mathrm{٣}}}=\frac{{ء}^{\mathrm{٣}} {م}^{\mathrm{٣}}}{{ء}^{\mathrm{٣}} ({م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١})}=\frac{{م}^{\mathrm{٣}}}{{م}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان

د) $\frac{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} - {د}^{\mathrm{٢}}}{أ - \mathrm{جـ}}=\frac{ب د}{أ}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{جـ}}{ء}$ = م (م $\ne$ ٠)

جـ = ء م، ب = ء م^٢، أ = ء م^٣

الأيسر = $\frac{ء {م}^{\mathrm{٢}} \times ء}{ء {م}^{\mathrm{٣}}}=\frac{ء \times م \times م \times ء}{ء \times م \times م \times م}=\frac{ء}{م}$ (١)

الأيمن = $\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}} - {ء}^{\mathrm{٢}}}{ء {م}^{\mathrm{٣}} - ء م}=\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} ({م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١})}{ء م ({م}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١})}=\frac{ء}{م}$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان

٦) إذا كانت: ٥أ، ٦ب، ٧جـ، ٨د كميات موجبة في تناسب متسلسل فأثبت أن: $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٥}أ}{\mathrm{٨}د}}=\sqrt{\frac{\mathrm{٥}أ + \mathrm{٦}ب}{\mathrm{٧}\mathrm{جـ} + \mathrm{٨}د}}$

$\frac{\mathrm{٥}أ}{\mathrm{٦}ب}=\frac{\mathrm{٦}ب}{\mathrm{٧}\mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٧}\mathrm{جـ}}{\mathrm{٨}ء}$ = م (م $\ne$ ٠)

٧جـ = ٨ ء م، ٦ب = ٨ ء م^٢، ٥ أ = ٨ ء م^٣

الأيمن = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٨} ء {م}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٨}د}}=\sqrt[\mathrm{٣}]{{م}^{\mathrm{٣}}}$ = م (١)

الأيسر = $\sqrt[]{\frac{\mathrm{٨} ء {م}^{\mathrm{٣}} + \mathrm{٨} ء {م}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٨} ء م + \mathrm{٨} ء }}=\sqrt{\frac{\mathrm{٨} ء {م}^{\mathrm{٢}} (م + \mathrm{١})}{\mathrm{٨} ء (م + \mathrm{١})}}=\sqrt[]{{م}^{\mathrm{٢}}}$ = م (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان

٧) إذا كانت: $\frac{ص}{س - ع}=\frac{س}{ص}=\frac{س + ص}{ع}$ فأثبت أن كلاً من هذه النسب يساوي ٢ (ما لم تكن: س + ص = ٠) ثم أوجد س : ص : ع

[جمع النسب الثلاثة $\frac{ص + س + س + ص}{س - ع + ص + ع}=\frac{\mathrm{٢}ًص + \mathrm{٢}س}{س + ص}=\frac{\mathrm{٢} (ص + س)}{س + ص}$ = ٢ كل نسبة

• $\frac{س}{ص}$ = ٢

س = ٢ص

• $\frac{س + ص}{ع}$ = ٢

$\frac{\mathrm{٢}ص + ص}{ع}$= ٢

$\frac{\mathrm{٣}ص}{ع}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}$

٣ص = ٢ع

$\frac{ص}{ع}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$$\begin{gathered} س : ص : ع \\ \mathrm{٢} : \mathrm{١} : \mathrm{١} \\ \underline{\mathrm{٢} : \mathrm{٢} : \mathrm{٣} } \\ \mathrm{٤} : \mathrm{٢} : \mathrm{٣} \end{gathered}$$

٨) إذا كان $\frac{أ}{\mathrm{٢}}=\frac{ب}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٢}أ - ب + \mathrm{٥}\mathrm{جـ}}{\mathrm{٣}س}$ فأوجد قيمة س.

نضرب حدي النسبة الأولى × ٢ وحدي النسبة الثانية × -١، حدي النسبة الثالثة.

وجمع مقومات وتوالي النسب الثلاثة.

$\frac{\mathrm{٢}أ - ب + \mathrm{٥}\mathrm{جـ} }{\mathrm{٤} - \mathrm{٣} + \mathrm{٢٠}}=\frac{\mathrm{٢} أ - ب + \mathrm{٥} \mathrm{جـ}}{\mathrm{٣}س}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٣}}$س = $\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{٣}}$

س = ٧

٩) إذا كان أ : ب : جـ = ٥ : ٧ : ٣ وكان أ + ب = ٢٧,٦ فأوجد قيمة كل من أ، ب، جـ

أ = ٥م، ب = ٧م، جـ = ٣م

أ + ب = ٢٧,٦

٥م + ٧م = ٢٧,٦

$\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٢}}$م = $\frac{\mathrm{٦},\mathrm{٢٧}}{\mathrm{١٢}}$

م = ٢,٣