اختبار الوحدة

١) إذا كان $\frac{أ + ب}{\mathrm{٣}}=\frac{ب + \mathrm{جـ}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{جـ} + أ}{\mathrm{٥}}$ فأثبت أن: $\frac{أ + ب + \mathrm{جـ}}{أ}$ = ٧

نجمع مقدمات وتوالي النسب الثلاثة

$\frac{أ + ب + ب + \mathrm{جـ} + \mathrm{جـ} + أ}{\mathrm{٣} + \mathrm{٥} + \mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٢}أ + \mathrm{٢}ب + \mathrm{٢} \mathrm{جـ}}{\mathrm{١٤}}$ = $\frac{\mathrm{٢} (أ + ب + \mathrm{جـ})}{\mathrm{١٤}}=\frac{أ + ب + \mathrm{جـ}}{\mathrm{٧}}$ إحدى النسب (١)

نضرب حدي النسبة الثانية × -١ ونجمع مقدمات وتوالي النسب الثلاثة

$\frac{أ \bcancel{+ ب} \bcancel{- ب} \bcancel{- \mathrm{جـ} }\bcancel{+ \mathrm{جـ} }+ أ}{\mathrm{٣} - \mathrm{٦} + \mathrm{٥}}=\frac{\bcancel{\mathrm{٢}} أ}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$ = أ إحدى النسب (٢)

من ١) و٢) $\therefore \frac{أ + ب + \mathrm{جـ}}{ب}=\frac{أ }{\mathrm{١}}$

$\therefore \frac{أ + ب + \mathrm{جـ}}{أ}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١}}$

٢) إذا كان ص = أ - ٩ وكان ص $\propto$ $\frac{\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}}}$ وكان أ = ١٨ عندما س = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ فأوجد العلاقة بين ص، س ثم استنتج قيمة ص عندما س = ١

ص $\propto$ $\frac{\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}}}$

ص = $\frac{م}{{س}^{\mathrm{٢}}}$

ص = ٩، ٢س = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، $\therefore$ ص = ١٨ - ٩ = ٩

٩ = $\frac{م}{{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}\right)}^{\mathrm{٢}}}$

م = ٩ × ${\left(\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٢}}$ = $\bcancel{\mathrm{٩}}$ × $\frac{\mathrm{٤}}{\bcancel{\mathrm{٩}}}$ = ٤ (بالتعويض عند م)

العلاقة هي ص = $\frac{\mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}}}$

عند س = ١، $\therefore$ ص = $\frac{\mathrm{٤}}{{\left(\mathrm{١}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٤

٣) إذا كان $\frac{\mathrm{٢١}س - ص}{\mathrm{٧}س - ع}=\frac{ص}{ع}$ فأثبت أن ص $\propto$ ع.

ص (٧س - ع) = ع (٢١س - ص)

٧س ص - ص ع = ٢١ ع س - ص ع

٧ س ص = ٢١ ع س

٧ ص = $\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{٧}}$ ع

ص = ٣ ع

$\therefore$ ص $\propto$ ع

٤) إذا كان س^٤ ص^٢ - ١٤ س^٢ ص + ٤٩ = ٠ فأثبن أن ص $\propto$ $\frac{\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}}}$

س^٤ ص^٢ - ١٤ س^٢ ص + ٤٩ = ٠ (مربع كامل)

(س^٢ ص - ٧)^٢= صفر

س^٢ ص - ٧ = ٠

س^٢ ص = ٧

$\therefore$ ص $\propto$ $\frac{\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}}}$

٥) الربط بالفلك: إذا كان وزن جسم على الأرض (و) يتناسب طردياً مع وزنه على القمر (ر)، فإذا كان و_١ = ١٨٢ كجم، ر_١ = ٣٥ كجم فأوجد ر_٢ عندما و_٢ = ٣١٢ كجم.

و $\propto$ ر

$\frac{{و}_{\mathrm{١}}}{{و}_{\mathrm{٢}}}=\frac{{ر}_{\mathrm{١}}}{{ر}_{\mathrm{٢}}}$

$\frac{\mathrm{١٨٢}}{\mathrm{٣١٢}}=\frac{\mathrm{٣٥}}{{ر}_{\mathrm{٢}}}$

ر_٢ = $\frac{\mathrm{٣٥} \times \mathrm{٣١٢}}{\mathrm{١٨٢}}$ = ٦٠ كجم.

٦) الربط بالفيزياء: إذا كان مقدار السرعة ع التي يخرج بها الماء من فوهة خرطوك يتغير عكسياً بتغير مربع طول نصف قطر فوهة الخرطوم نق وكانت ع = ٥ سم /ث عندما نق = ٣ سم. أوجد ع عندما نق = ٢,٥ سم.

ع $\propto$ $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{نق}}^{\mathrm{٢}}}$

$\frac{{ع}_{\mathrm{١}}}{{ع}_{\mathrm{٢}}}=\frac{{\mathrm{نق}}_{\mathrm{١}}}{{\mathrm{نق}}_{\mathrm{٢}}}$

$\frac{\mathrm{٥}}{{ع}_{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٢٥},\mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}$

ع_٢$\frac{\mathrm{٥} \times \mathrm{٩}}{\mathrm{٢٥},\mathrm{٦}}$ = ٧,٢