الدرس الأول: حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد

أولاً: الاختيار من متعدد

١) المعادلة: (س - ١) (س + ٢) = ٠ من الدرجة:

أ) الأولى

ب) الثانية

جـ) الثالثة

د) الرابعة

٢) مجموعة حل المعادلة س^٢ = س في ح هي:

س^٢ - س = ٠

س (س - ١) = ٠

س = ٠،

س -١ = ٠

س = ١

م. ح = {٠، ١}

أ) {٠}

ب) {١}

جـ) {-١، ١}

د) {٠، ١}

٣) مجموعة حل المعادلة س^٢ + ٣ = ٠ في ح هي:

س^٢ + ٣ = ٠

س^٢ = -٣

س = $\pm \sqrt{-\mathrm{٣}}$

أ) {-٣}

ب) {$\sqrt{-\mathrm{٣}}$}

جـ) {$\sqrt{\mathrm{٣}}$}

د) $\varnothing$

٤) مجموعة حل المعادلة س^٢ -٢س = -١ في ح هي:

س^٢ -٢س + ١ = ٠

(س - ١) (س - ١) = ٠

إما س - ١ = ٠ س = ١

س - ١ = ٠ س = ١

م. ح = {١}

أ) {-١}

ب) $\varnothing$

جـ) {-١، ١}

د) {١}

٥) يمثل الشكل المقابل المنحني البياني لدالة تربيعية د.

م. ح المعادلة الإحداثي السيني لنقط تقاطع المنحني مع محور السينات إذاً م . ح {-٢}

أ) {-٢}

ب) {٤}

جـ) $\varnothing$

د) $\{-\mathrm{٢}، \mathrm{٤}\}$

ثانياً: أجب عن الأسئلة الآتية:

٦) أوجد مجموعة حل كل من المعادلات الآتية في ح:

أ) س^٢ -١ = ٠

س^٢ = ١، س = $\pm$ ١

م. ح = {١، -١}

ب) س^٢ +٣س = ٠

س (س + ٣) = ٠

س = ٠

س + ٣ = ٠

س = -٣

م. ح = {٠، -٣}

جـ) (س - ٤)^٢ = ٠

نأخذ جذر الطرفين

س - ٤ = ٠

س = ٤

م. ح = {٤}

د) س^٢ -٦س + ٩ = ٠

(س - ٣) (س - ٣) = ٠

س = ٣

م. ح = {٣}

هـ) س^٢ + ٩ = ٠

س^٢ = -٩ مرفوض

م. ح = $\varnothing$

و) س (س + ١) (س - ١) = ٠

• إما س = ٠
• أو س + ١

س = -١

• أو س - ١ = ٠

س = ١

م. ح = {٠، -١، + ١}

٧) يبين كل شكل من الأشكال التالية الرسم البياني لدالة من الدرجة الثانية. أوجد مجموعة الحل للمعادلة د (س) = ٠ في كل شكل.

الرسم البياني (أ) م. ح = {-٢}

الرسم البياني (ب) م. ح = {$\varnothing$}

الرسم البياني (جـ) م. ح = {١، -٣}

٨) أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات الآتية في ح وحقق الناتج بيانياً:

أ) س^٢ = ٣س + ٤٠

ب) ٢س^٢ = ٣ - ٥س

جـ) ٦س^٢ = ٦ - ٥س

د) (س - ٣)^٢ = ٥

هـ) س^٢ + ٢س = ١٢

و) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ س^٢ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$س = ١

٩) حل المعادلات الآتية في ح باستخدام القانون العام مقرباً الناتج لرقم عشري واحد.

أ) ٣س^٢ - ٦٥ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$ حيث أ س^٢ + ب س + جـ = ٠

أ = ٣، ب = صفر، جـ = -٦٥

نعوض القانون.

س = $\frac{\pm \sqrt{-\mathrm{٤} \times \mathrm{٣} \times -\mathrm{٦٥}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣}}$ = $\pm$ $\frac{\sqrt{\mathrm{٧٨٠}}}{\mathrm{٦}}$ = $\pm$ ٤,٧

م. ح = {-٤,٧، ٤,٧}

ب) س^٢ -٦س + ٧ = ٠

أ = ١، ب = -٦، جـ = ٧

س = $\frac{\mathrm{٦} \pm \sqrt{\mathrm{٣٦} - \mathrm{٤} \times \mathrm{١} \times \mathrm{٧}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = $\frac{\mathrm{٦} \pm \sqrt{\mathrm{٨}}}{\mathrm{٢}}$

إما س = $\frac{\mathrm{٦} +\sqrt{\mathrm{٨}}}{\mathrm{٢}}$ = ٤,٤

أو س = $\frac{\mathrm{٦} -\sqrt{\mathrm{٨}}}{\mathrm{٢}}$ = ١,٦

م. ح = {١,٦، ٤,٤}

جـ) س^٢ + ٦س + ٨ = ٠

د) ٢س^٢ +٣س - ٤ = ٠

هـ) ٥س^٢ -٣س - ١ = ٠

و) ٣س^٢ - ٦س - ٤ = ٠

١٠) أعداد: إذا كان مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية (١ + ٢ + ٣ + .....+ ن) يعطى بالعلاقة جـ = $\frac{ن}{\mathrm{٢}}$(١ + ن) عدداً صحيحاً متتالياً بدءاً من العدد ١ يكون مجموعهما مساوياً:

أ) ٧٨

ب) ١٧١

جـ) ٢٥٣

د) ٤٦٥

٧٨ = $\frac{ن}{\mathrm{٢}}$ (١ + ن) × ٢

١٥٦ = ن (١ + ن)

١٥٦ = ن + ن^٢

ن^٢ + ن - ١٥٦ = ٠

(ن - ١٢) (ن + ١٣) = ٠

إما ن - ١٢ = ٠

ن = ١٢

أو ن + ١٣ = ٠

ن = -١٣ مرفوض

الحل ١٢ عدد

١١) يبين كل شكل من الأشكال الآتية الرسم البياني لدالة من الدرجة الثانية في متغير واحد. أوجد قاعدة كل دالة من هذه الدوال.

• المخطط البياني أ) س = ٢، س = -٣

س - ٢ = ٠، س + ٣ = ٠ = د (س)

س^٢ + س - ٦ = ٠

د (س) = س^٢ + س - ٦

• المخطط البياني ب)

س = ٠، س = -٣

د (س) = س (س + ٣)

د (س) = س + ٣س

• المخطط البياني جـ)

س = ١، س = ٥

س - ١، س - ٥

د (س) = (س - ١) (س - ٥)

د (س) = س^٢ - ٦س + ٥

١٢) اكتشف الخطأ: أوجد مجموعة حل المعادلة (س - ٣) = (س - ٣).

أي الحلين صحيح ولماذا؟

إجابة كريم هي الصحيحة.

١٣) تفكير ناقد: قذفت كرة رأسياً إلى أعلى بسرعة (ع) تساوي ٢٩,٤ متر/ث. احسب الفترة الزمنية (ن) بالثانية التي تستغرقها الكرة حتى تصل إلى ارتفاع (ف) متراً، حيث ف تساوي ٣٩,٢ متراً علماً بأن العلاقة بين ف، ن تعطى كالآتي ف = ع ن -٤,٩ ن^٢.

ف = ع ن - ٤,٩ ن^٢ (نقسم على -٤,٩)

$\frac{\mathrm{٢},\mathrm{٣٩}}{-\mathrm{٩},\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٤},\mathrm{٢٩}}{-\mathrm{٩},\mathrm{٤}}ن= -\frac{\mathrm{٩},\mathrm{٤}}{-\mathrm{٩},\mathrm{٤}}$

-٨ = -٦ن + ن^٢

ن^٢ - ٦ن + ٨ = ٠

(ن - ٢) (ن - ٤) = ٠

ن - ٢ = ٠، ن = ٢

ن - ٤ = ٠، ن = ٤