الدرس الثاني: مقدمة عن الأعداد المركبة

١) تفكير ناقد: أوجد في أبسط صورة (١ - ت)^١٠

(١ - ت)^١٠ = ((١ - ت)^٢)^٥

= (١ - ٢ت + ت^-٢)

= (١ - ٢ت -١)^٥ = (-٢ت)^٥

= (-٢)^٥ (ت)^٥

-٣٢ × ت = -٣٢ت

١) ضع كلاً مما يأتي في ابسط صورة:

أ) ت^٦٦

= -١

ب) ت^-٤٥

^{= ت-٤٥} × ت^٤٨ = ت^٣ = - ت

جـ) ت^{٤ن + ٢}

ت^٤ن × ت^٢ = ١ × ت^٢ = ت^٢ = -١

د) ت ^{٤ن - ١}

= $\frac{{ت}^{\mathrm{٤}ن}}{ت}=\frac{\mathrm{١}}{ت}=\frac{{ت}^{\mathrm{٤}}}{ت}$ = ت^٣ = - ت

٢) بسط كلاً مما يأتي:

أ) $\sqrt{-\mathrm{١٨}}\times \sqrt{-\mathrm{١٢}}$

= $\sqrt{-\mathrm{١٨}}$ت × $\sqrt{\mathrm{١٢}}$ت = $\sqrt{\mathrm{١٨} \times \mathrm{١٢}}$ت^-٢ = -٦ $\sqrt{\mathrm{٦}}$

ب) ٣ت (-٢ت)

= -٦ت^٢ = ٦

جـ) (-٤ت) (-٦ت)

٢٤ ت^٢ = -٢٤

د) (-٢ت)^٣ (-٣ت)^٢

= (٨ت^٣) (٩ت^٢) = (-٨ - ت) (٩ × -١) = ٨ت (-٩) = -٧٢ ت

٣) أوجد ناتج كل مما يأتي في أبسط صورة:

أ) (٣ + ٢ت) + (٢ - ٥ت)

٣ + ٢ت + ٢ - ٥ت = ٥ - ٣ت

ب) (٢٦ - ٤ت) - (٩ - ٢٠ت)

٢٦ - ٤ت - ٩ + ٢٠ ت = ١٦ت + ١٧

جـ) (٢٠ + ٢٥ت) - (٩ -٢٠ت)

٢٠ + ٢٥ت - ٩ +٢٠ت = ١١ + ٤٥ت

٤) ضع كلاً مما يأتي على صورة أ + ب ت

أ) (٢ + ٣ت) - (١ - ٢ت)

٢ + ٣ت - ١ + ٢ت = ١ + ٥ت

ب) (١ + ٢ت^٢) (٢ + ٣ت^٥ + ٤ت^٦)

٢ + ٣ت^٥ + ٤ت^٦ +٤ت^٢ + ٤ت^٣ + ٦ت^٨ + ٨ ت^٩ = ٢ + ٣ × ت + ٤ × (-١) + ٤ × (- ت) + ٦ × ١ + ٨ × ت

= ٢ + ٣ ت - ٤ - ٤ ت + ٦ + ٨ ت

= ٤ + ٧ ت

٥) ضع كلاً مما يأتي على صورة أ + ب ت

أ) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١} + ت}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١} + ت}$ × $\frac{\mathrm{١} - ت}{\mathrm{١} - ت}$ = $\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٢}ت}{\mathrm{١}+ \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٢}ت}{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$ت = ١ - ت

ب) $\frac{\mathrm{٤} + ت}{ت}$

$\frac{\mathrm{٤} + ت}{ت}$ × $\frac{-ت}{-ت}=\frac{-\mathrm{٤}ت - {ت}^{\mathrm{٢}}}{-{ت}^{\mathrm{٢}}}=\frac{-\mathrm{٤}ت + \mathrm{١}}{\mathrm{١}}$ = ١ - ٤ت

جـ) $\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٣}ت}{\mathrm{٣} + ت}$

$\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٣}ت}{\mathrm{٣} + ت}$ × $\frac{\mathrm{٣} - ت}{\mathrm{٣} - ت}$ = $\frac{\mathrm{٦} - \mathrm{٢}ت - \mathrm{٩}ت +\mathrm{٣}{ت}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٩} + \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٦} - \mathrm{١١}ت -\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{١١}ت}{\mathrm{١٠}}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}-\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٠}}$ت = ٠,٣ - ١,١ت

د) $\frac{(\mathrm{٣} + ت) (\mathrm{٣} - ت)}{\mathrm{٣} - \mathrm{٤}ت}$

$\frac{(\mathrm{٣} + ت) (\mathrm{٣} - ت)}{\mathrm{٣} - \mathrm{٤}ت}$= $\frac{\mathrm{٩} + \mathrm{١}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٤}ت}$ = $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٤}ت}$

= $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٤}ت}$ × $\frac{\mathrm{٣} + \mathrm{٤}ت}{\mathrm{٣} + \mathrm{٤}ت}$ = $\frac{\mathrm{٣٠} + \mathrm{٤٠}ت}{\mathrm{٩} + \mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{٣٠} + \mathrm{٤٠}ت}{\mathrm{٢٥}}$ = $\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٢٥}}+\frac{\mathrm{٤٠}}{\mathrm{٢٥}}$ت

= $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٥}}+\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٥}}$ت

٦) حل كل المعادلات الآتية:

أ) ٣س^٢ + ١٢ = ٠

٣س^٢ + ١٢ = ٠

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٣}}$س^٢ = $\frac{-\mathrm{١٢}}{\mathrm{٣}}$

س^٢ = -٤

س = $\pm \sqrt{-\mathrm{٤}}$

س = $\pm \sqrt{\mathrm{٤}}$ت

س = + ٢ت

ب) ٤ص^٢ + ٢٠ = ٠

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤}}$ص^٢ = $\frac{-\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٤}}$

ص^٢ = -٥

إذاً ص = $\pm \sqrt{-\mathrm{٥}}$

ص = $\pm \sqrt{\mathrm{٥}}$ت

جـ) ٤ع^٢ + ٧٢ = ٠

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤}}$ع^٢ = $\frac{-\mathrm{٧٢}}{\mathrm{٤}}$

ع^٢ = -١٨

ع = $\pm \sqrt{-\mathrm{١٨}}$ = $\pm \sqrt{\mathrm{١٨}}$ت

ع = $\pm \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$ت

د) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ص^٢ + ١٥ = ٠

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$×$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ص^٢ = -١٥ × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$

ص^٢ = -٢٥

ص = $\pm \sqrt{-\mathrm{٢٥}}$

ص = $\pm \sqrt{\mathrm{٢٥}}$ت

ص = $\pm$ ٥ ت

٧) كهرباء: أوجد شدة التيار الكهربي الكلية المار في مقاومتين متصلتين على التوازي في دائرة كهربائية مغلقة إذا كانت التيار الأولى ٤ - ٢ت أمبير، وفي المقاومة الثانية $\frac{\mathrm{٦} + \mathrm{٣}ت}{\mathrm{٢} + ت}$ أمبير.

$\frac{\mathrm{٤} - \mathrm{٢}ت}{\mathrm{١}}$ + $\frac{\mathrm{٦} + \mathrm{٣}ت}{\mathrm{٢} + ت}$ = $\frac{(\mathrm{٤} - \mathrm{٢}ت) (\mathrm{٢} + ت) + \mathrm{٦} + \mathrm{٣}ت}{\mathrm{٢} + ت}$ = $\frac{\mathrm{٨} \bcancel{+ \mathrm{٤}ت} \bcancel{- \mathrm{٤}ت} + \mathrm{٢} + \mathrm{٦} + \mathrm{٣}ت}{\mathrm{٢} + ت}$ = $\frac{\mathrm{١٦} + \mathrm{٣} ت}{\mathrm{٢} + ت}\times \frac{\mathrm{٢} -ت}{\mathrm{٢} -ت}$ = $\frac{\mathrm{٣٢} - \mathrm{١٦} ت + \mathrm{٦}ت - \mathrm{٣}{ت}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤} + \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣٢} - \mathrm{١٦}ت + \mathrm{٦}ت + \mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ = $\frac{\mathrm{٣٥} - \mathrm{١٠}ت}{\mathrm{٥}} = \frac{\mathrm{٣٥}}{\mathrm{٥}}-\frac{-\mathrm{١٠}}{\mathrm{٥}}$ت

= ٧ - ٢ت.

٨) اكتشف الخطأ: أوجد أبسط صورة للمقدار: (٢ + ٣ت)^٢ (٢ - ٣ت)

أي الحلين صحيح؟ لماذا؟

(٢ + ٣ت)^٢ (٢ - ٣ت) = (٢ + ٣ت) (٢ + ٣ت) (٢ - ٣ت) = (٢ + ٣ت) (٤ + ٩) = ١٣ (٢ + ٣ت) = ٢٦ + ٣٩ت

إذاً إجابة أحمد صحيحة.