الدرس الثاني: القياس الستيني والقياس الدائري لزاوية

أولاً: اختيار من متعدد:

١) الزاوية التي قياسها ٦٠° في الوضع القياسي تكافئ الزاوية قياسها:

أ) ١٢٠°

ب) ٢٤٠°

جـ) ٣٠٠°

د) ٤٢٠°

٦٠ - ٣٦٠ = -٣٠٠

٦٠ + ٣٦٠ = ٤٢٠

٢) الزاوية التي قياسها $\frac{\mathrm{٣١}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٦}}$ تقع في الربع:

أ) الأول

ب) الثاني

جـ) الثالث

د) الرابع

٣) الزاوية التي قياسها $\frac{-\mathrm{٩}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$ تقع في الربع:

أ) الأول

ب) الثاني

جـ) الثالث

د) الرابع

٤) إذا كان مج موع قياسات زوايا أي مضلع منتظم تساوي ١٨٠° (ن - ٢) حيث ن عدد الأضلاع، قياس زاوية المخمس المنتظم بالقياس الدائري تساوي:

أ) $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

ب) $\frac{\mathrm{٧}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٢}}$

جـ) $\frac{\mathrm{٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٥}}$

د) $\frac{\mathrm{٢}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

٥) الزاوية التي قياسها $\frac{\mathrm{٧}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$ قياسها الستيني يساوي:

أ) ١٠٥°

ب) ٢١٠°

جـ) ٤٢٠°

د) ٨٤٠°

٦) إذا كان القياس الستيني لزاوية ٤٨ َ ٦٤° فإن قياسها الدائري يساوي:

أ) ٠,١٨^ء

ب) ٠,٣٦^ء

جـ) ٠,١٨ $\mathrm{\pi }$

د) ٠,٣٦ $\mathrm{\pi }$

٧) طول القوس في دائرة طول قطرها ٢٤ سم ويقابل زاوية مركزية قياسها ٣٠° يساوي:

أ) ٢$\mathrm{\pi }$ سم

ب) ٣ $\mathrm{\pi }$ سم

جـ) ٤ $\mathrm{\pi }$ سم

د) ٥$\mathrm{\pi }$ سم

٨) القوس الذي طوله ٥ $\mathrm{\pi }$ سم في دائرة طول نصف قطرها ١٥ سم يقابل زاوية مركزية قياسها يساوي:

أ) ٣٠°

ب) ٦٠°

جـ) ٩٠°

د) ١٨٠°

٩) إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث ٧٥° وقياس زاوية أخرى فيه $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$ فإن القياس الدائري للزاوية الثالثة يساوي:

أ) $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٦}}$

ب) $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$

جـ) $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

د) $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{١٢}}$

ثانياً: أجب عن الأسئلة الآتية:

١٠) أوجد بدلالة $\mathrm{\pi }$ القياس الدائري للزوايا التي قياساتها كالآتي:

أ) ٢٢٥° ......

$\frac{\mathrm{٥}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$

ب) ٢٤٠° .....

$\frac{\mathrm{٤}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

جـ) -١٣٥° ......

$\frac{-\mathrm{٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$

د) ٢٠٠° ......

$\frac{\mathrm{٥}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

هـ) ٣٩٠° .....

$\frac{\mathrm{١٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٦}}$

و) ٧٨٠° ......

$\frac{\mathrm{١٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

١١) أوجد القياس الدائري للزوايا التي قياساتها كالآتي، مقرباً الناتج لثلاثة أرقام عشرية:

أ) ٥٦,٦°

٠,٩٨٦^ء

ب) ١٨ َ ٢٥°

٠,٤٤٢^ء

جـ) ٤٨ ً ٥٠ َ ١٦٠°

٢,٨٠٧^ء

١ ٢) أوجد القياس الستيني للزوايا التي قياساتها كالآتي، مقرباً الناتج لأقرب ثانية.

أ) ٠,٤٩^ء

٣٠ ً ٤ َ ٢٨°

ب) ٢,٢٧^ء

٤١ ً ٣ َ ١٣٠°

جـ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}$^ء

-٧ ً ٣٢ َ ٢٠٠°

١٣) إذا كان $\theta$ قياس زاوية مركزية في دائرة طول نصف قطرها نق وتحصر قوساً طوله ل:

أ) إذا كان نق = ٢٠سم، $\theta$ = ٢٠ ً ١٥ َ ٧٨° أوجد ل. (لأقرب جزء من عشرة)

٢٧,٣ سم.

ب) إذا كان ل = ٢٧,٣سم، $\theta$ = ٢٤ ً ٠ َ ٧٨° أوجد نق. (لأقرب جزء من عشرة)

٢٠,١ سم.

١٤) زاوية مركزية قياسها ١٥٠° وحصر قوساً طوله ١١سم، احسب طول نصف قطر دائرتها (لأقرب جزء من عشرة)

نصف القطر = ٤,٢سم.

١٥) أوجد القياس الدائري والقياس الستيني للزاوية المركزية التي تقابل قوساً طوله ٨,٧ سم في دائرة طول نصف قطرها ٤سم.

القياس الدائري = ٢,١٧٥^ء

القياس الستيني = ٦ ً ٣٧ ` ١٢٤°

١٦) الربط بالهندسة: مثلث قياس إحدى زواياه ٦٠° وقياس زاوية أخرى منه يساوي $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$ أوجد القياس الدائري والقياس الستيني لزاويته الثالثة.

القياس الستيني = ٧٥°

القياس الدائري = $\frac{\mathrm{٥}\mathrm{\pi }}{\mathrm{١٢}}$

١٧) الربط بالهندسة: دائرة طول نصف قطرها ٤سم، رسمت $\angle$ أ ب جـ المحيطية التي قياسها ٣٠° أوجد طول القوس الأصغر $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$

الزاوية المركزية = ضعف الزاوية المحيطية

ل = ${\theta }^{ء}$ × نق = ٤,٢ سم.

١٨) الربط بالهندسة: في الشكل المقابل إذا كان مساحة المثلث م أ ب القائم الزاوية في م = ٣٢ سم^٢ فأوجد محيط الشكل المظلل مقرباً الناتج لأقرب رقمين عشريين.

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × أ م × ب م

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × نق^٢

= ٣٢

نق = ٨ سم.

ل = ${\theta }^{ء}$ × نق = ١٢,٦ سم.

المحيط = طول القوس + ٢ نق = ١٢,٦ + ٢ × ٨ = ١٢,٦ + ١٦ = ٢٨,٦ سم.

١٩) الربط بالهندسة: $\overline{أ ب}$ قطر في دائرة طوله ٢٤ سم، رسم الوتر $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ بحيث كان ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٥٠° أوجد طول القوس $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ مقرباً الناتج لأقرب رقميين عشريين.

نق = نصف القطر = ١٢سم.

ل = ${\theta }^{\mathrm{٢}}$ × نق = $\frac{\mathrm{٨٠} \times \mathrm{\pi }}{\mathrm{١٨٠}}$ × ١٢ = ١٦,٧٦ سم.

٢٠) مسافات: كم المسافة التي تقطعها نقطة على طرف عقرب الدقائق خلال ١٠ دقائق إذا كان طول هذا العقرب ٦سم؟

٢١) فلك: قمر صناعي يدور حول الأرض في مسار دائري دورة كاملة كل ٦ ساعات، فإذا كان طول نصف قطر مساره عن مركز الأرض ٩٠٠٠ كم، فأوجد سرعته بالكيلو متر في الساعة.

٢٢) اربط بالهندسة: في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماسان للدائرة م، ق ($\angle$ جـ أ ب) = ٦٠°، أ ب = ١٢ سم. أوجد لأقرب عدد صحيح طول القوس الأكبر $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$.

ظا ٣٠° = $\frac{\mathrm{نق}}{\mathrm{١٢}}$

نق = ١٢ × ظا ٣٠° = ٧ سم.

ل = ${\theta }^{\mathrm{٢}}$ × نق = $\frac{\mathrm{٢٤٠} \times \mathrm{\pi }}{\mathrm{١٨٠}}$ × ٧ = ٢٩ سم.

٢٣) الربط بالزمن: تستخدم المزولة الشمسية لتحديد الوقت أثناء النهار من خلال طول الظل الذي يسقط على سطح مدرج لإظهار الساعة وأجزائها، فإذا كان الظل يدور على القرص بمعدل ١٥° لكل ساعة.

أ) أوجد قياس الزاوية بالراديان التي يدور الظل عنها بعد مرور ٤ ساعات.

ب) بعد كم ساعة يدور الظل بزاوية قياسها $\frac{\mathrm{٢}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$ راديان؟

جـ) مزولة طول نصف قطرها ٢٤ سم، أوجد بدلالة $\mathrm{\pi }$ طول القوس الذي يصنعه دوران الظل على حافة القرص بعد مرور ١٠ ساعات.

٢٤) تفكير ناقد: مستقيم يصنع زاوية قياسها $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$ في الوضع القياسي لدائرة الوحدة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. أوجد معادلة هذا المستقيم.