الدرس الثالث: الدوال المثلثية

أولاً: الاختيار من متعدد:

١) إذا كان $\theta$ قياس زاوية في الوضع القياسي وضلعها النهائي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$) فإن جا $\theta$ تساوي:

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

جـ) $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

د) $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

٢) إذا كانت جا $\theta$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ حيث $\theta$ زاوية حادة فإن $\theta$ تساوي

أ) ٣٠°

ب) ٤٥°

جـ) ٦٠°

د) ٩٠°

٣) إذا كانت جا $\theta$ = -١، جتا $\theta$ = ٠ فإن $\theta$ تساوي

أ) $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٢}}$

ب) $\mathrm{\pi }$

جـ) $\frac{\mathrm{٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٢}}$

د) ٢$\mathrm{\pi }$

٤) إذا كانت قتا $\theta$ = ٢ حيث $\theta$ قياس زاوية حادة فإن $\theta$ تساوي

أ) ١٥°

ب) ٣٠°

جـ) ٤٥°

د) ٦٠°

٥) إذا كانت جتا $\theta$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، جا $\theta$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$ فإن $\theta$ تساوي

أ) $\frac{\mathrm{٢}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

ب) $\frac{\mathrm{٥}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٦}}$

جـ) $\frac{\mathrm{٥}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٣}}$

د) $\frac{\mathrm{١١} \mathrm{\pi }}{\mathrm{٦}}$

٦) إذا كانت ظا $\theta$ = ١ حيث $\theta$ زاوية حادة موجبة فإن $\theta$ تساوي

أ) ١٠°

ب) ٣٠°

جـ) ٤٥°

د) ٦٠°

٧) ظا ٤٥° + ظتا ٤٥° - قا ٦٠° تساوي

أ) صفراً

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جـ) $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

د) ١

٨) إذا كانت جتا $\theta$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$ حيث $\theta$ قياس زاوية حادة فإن جا $\theta$ تساوي

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

جـ) $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

د) $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

ثانياً: أجب عن الأسئلة الآتية:

٩) أوجد جميع الدوال المثلثية لزاوية قياسها $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي، وضلعها النهائي يقطع دائرة الوحدة في النقطة

أ) ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، $\frac{\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٣}}$)

ظا $\theta$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٢}}$، ظتا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

قا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، قتا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

ب) ($\frac{\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$)

ظا $\theta$ = ١، ظتا $\theta$ = -١

قا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$ = $\sqrt{\mathrm{٢}}$، قتا $\theta$ = -$\sqrt{\mathrm{٢}}$

جـ) ($-\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

ظا $\theta$ = $\frac{-\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$، ظتا $\theta$ = -$\sqrt{\mathrm{٣}}$

قا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$ = $\sqrt{\mathrm{٢}}$، قتا $\theta$ = ٢

د) ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$، $-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$)

ظا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$، ظتا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

قا $\theta$ = $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$ ، قتا $\theta$ = $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$

١٠) إذا كان $\theta$ هو قياس زاوية موجهة في الوضع القياسي، وضلعها النهائي يقطع دائرة الوحدة في النقطة المعطاة فأوجد جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية في الحالات الآتية:

أ) (٣أ، -٤أ) حيث أ > ٠

٩أ^٢ + ١٦أ^٢ = ١

٢٥أ^٢ = ١

أ^٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٥}}$

أ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

جتا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$، جا $\theta$ = $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

قا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$، قتا $\theta$ = $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$

ظا $\theta$ = $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$، ظتا $\theta$ = $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

ب) ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$أ، -٢أ) حيث $\frac{\mathrm{٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٢}}$ < $\theta$ < ٢$\mathrm{\pi }$

$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$أ^٢ + ٤أ^٢ = ١

$\frac{\mathrm{٩} {أ}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١٦} {أ}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤}}$ = ١

٢٥أ^٢ = ٤

أ^٢ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢٥}}$

أ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

جتا $\theta$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$، جا $\theta$ = -٢ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}=-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

١١) اكتب إشارات النسب المثلثية الآتية:

أ) جا ٢٤٠°

سالبة.

ب) ظا ٣٦٥°

موجبة.

جـ) قتا ٤١٠°

-٣٦٠° = ٥٠° موجبة

د) ظتا $\frac{\mathrm{٩}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$

$\frac{-\mathrm{٨}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$

موجبة.

هـ) قا $-\frac{\mathrm{٩}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{٨}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}=\frac{-\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$

موجبة.

و) ظا $\frac{-\mathrm{٢٠}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٩}}$

$\frac{+\mathrm{١٨}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٩}}$ = $\frac{-\mathrm{٢}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٩}}$

سالبة.

١٢) أوجد قيمة ما يأتي:

أ) جتا $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٢}}$ × جتا ٠ + جا $\frac{\mathrm{٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٢}}$ × جا $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{٢}}$

٠ × ٠ + -١ × ١ = -١

ب) ظا^٢ ٣٠° + ٢جا^٢ ٤٥° + جتا ٩٠°

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ + ٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ + ٠ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ + ١ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١}$

١٣) الربط بالفيزياء: عند سقوط أشعة الضوء على سطح شبه شفاف، فإنها تنعكس بنفس زاوية السقوط ولكن البعض منها ينكسر عند مروره خلال هذا السطح. كما في الشكل المجاور: إذا كان جا $\theta$_١ = ك جا $\theta$_٢، كانت ك = $\sqrt{\mathrm{٣}}$، $\theta$_١ = ٦٠° فأوجد قياس زاوية $\theta$_٢. .......

= ٣٠°

$\theta$_٢ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}÷\sqrt{\mathrm{٣}}=\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

١٤) اكتشف الخطأ: طلب المعلم من طلاب الفصل إيجاد ناتج ٢ جا ٤٥°.

أي الإجابتين صحيح؟ ولماذا؟

إجابة أحمد صحيحة.

١٥) تفكير ناقد: إذا كانت $\theta$ قياس زاوية مرسومة في الوضع القياسي، حيث ظتا $\theta$ = -١، قتا $\theta$ = $\sqrt{\mathrm{٢}}$. هل من الممكن أن يكون $\theta$ = $\frac{\mathrm{٣}\mathrm{\pi }}{\mathrm{٤}}$؟ فسر إجابتك.