نماذج اختبارات الهندسة النموذج الثاني

أجب عن جميع الأسئلة التالية:

((يسمح باستخدام الآلة الحاسبة))

السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) قياس القوس الذي يمثل نصف قياس الدائرة = ..... (٣٦٠°، ١٨٠°، ١٢٠°، ٩٠°)

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٣٦٠ = ١٨٠

٢) عدد المماسات المشتركة لدائرتين متماستان من الخارج = ..... (صفر، ١، ٢، ٣)

٣

٣) قياس الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة = ..... (٤٥°، ٩٠°، ١٢٠°، ١٨٠°)

٩٠°

٤) الزاوية المماسية هي زاوية محصورة بين ..... (وتران، مماسان، وتر ومماس، وتر وقطر)

وتر ومماس

٥) أ ب جـ ء شكل رباعي دائري فيه ق ($\angle$ أ) = ٦٠° فإن ق ($\angle$ جـ) = ..... (٦٠°، ٣٠°، ٩٠°، ١٢٠°)

١٨٠ - ٦- = ١٢٠°

٦) دائرتان م، ن متماستان من الداخل أنصاف أقطارهم ٥ سم، ٩سم فإن م ن = .....سم (١٤، ٤، ٥، ٩)

م ن = نق - نق = ٩ - ٥ = ٤سم.

السؤال الثاني:

أ) في الشكل المقابل: أ ب = أ جـ، $\overline{م \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ أثبت أن س ء = ص هـ

البرهان:

$\because$ $\overline{م ء}\perp \overline{أ ب}$، $\overline{م \mathrm{هـ}}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ م ء = م هـ (١)

$\overline{م س}،\overline{م ص}$ أنصاف أقطار

م س = م ص (٢)

من ١) و ٢)

$\therefore$ س ء = ص هـ

ب) أ ب جـ ء شكل رباعي فيه أ ب = أ ء، ق ($\angle$ أ ب ء) = ٣٠°، ق ($\angle$جـ) = ٦٠° أثبت أن الشكل أ ب جـ ء رباعي دائري

$\because$ أ ب = أ ء

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ب ء) = ق ($\angle$ أ ء ب) = ٣٠°

ق ($\angle$ أ) = ١٨٠ - (٣٠ + ٣٠) = ١٢٠°

$\because$ ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ جـ) = ١٢٠ + ٦٠ = ١٨٠°

$\therefore$ ا ب جـ ء رباعي دائري.

السؤال الثالث:

أ) اذكر حالتين يكون فيهما الشكل الرباعي دائرياً؟

1. إذا وجدت نقطة في المستوى تقع على بعد ثابت من رؤوس الشكل كان الشكل رباعي دائري.
2. إذا وجدت زاويتان متقابلتان متكاملتان في الشكل الرباعي كان الشكل رباعي دائري
3. إذا وجدت زاوية خارجة عند الشكل الرباعي قياسهما يساوي قياس الزاوية الراحلة المقابلة للمجاورة لهما كان الشكل رباعي دائري
4. إذا وجدت زاويتان مرسومتان على قاعدة واحدة وفي جهة واحدة منها متساويتان في القياس كان الشكل رباعي دائري.

ب) في الشكل المقابل: $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة عند ب، هـ منتصف القوس $\stackrel{⏜}{ب و}$ أثبت أن أ ب جـ ء رباعي دائري.

$\because$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ ب هـ) المماسية = ق ($\angle$ ب أ هـ) المحيطية (١)

$\because$ هـ منتصف $\underset{ب و}{\leftarrow }$

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{هـ}}$) = ق ($\overline{\mathrm{هـ} و}$)

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ و) = ق ($\angle$ هـ أ و) (٢)

زوايا محيطية مرسومة عل أقواس متساوية

من ١) ، ٢) $\therefore$ ق ($\angle$ جـ ب ء) = $\therefore$ ق ($\angle$ جـ أ ء) وهما مرسومتان على قاعدة $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ ومن جهة واحدة منها

$\therefore$ أ ب جـ ء رباعي دائري.

السؤال الرابع:

أ) في الشكل المقابل: المثلث أ ب جـ مرسوم خارج الدائرة م تمس أضلاعه $\overline{أ ب}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في ء، هـ، و على الترتيب أ ء = ٥سم، ب هـ = ٤ سم، جـ و = ٣ سم أوجد محيط المثلث أ ب جـ

$\because$ $\overline{أ ء}، \overline{أ و}$ مماسان

$\therefore$ أ ء = أ و = ٥ سم.

$\because$ $\overline{ب ء}،\overline{ب \mathrm{هـ}}$ مماسان

$\therefore$ ب ء = ب جـ = ٤سم.

$\because$ $\overline{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}،\overline{\mathrm{جـ} و}$ مماسان

$\therefore$ هـ جـ = جـ و = ٣ سم.

محيط $△$ أ ب جـ = ٩ + ٧ + ٨ = ٢٤ سم.

ب) في الشكل المقابل: $\underset{أ و}{\leftarrow }$ مماس للدائرة عند أ، $\underset{أ و}{\leftarrow }$ // $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ برهن أن ء هـ ب جـ شكل رباعي دائري

$\because$ $\underset{أ و}{\leftarrow }$ مماس

$\therefore$ ق ($\angle$ و أ ب) المماسية = ق ($\angle$ أ جـ ب) المحيطية (١)

$\because$ $\overline{أ و}$ // $\overline{\mathrm{هـ} ء}$

$\therefore$ ق ($\angle$ و أ جـ) = ق ($\angle$ أ هـ ء) بالتبادل (٢)

من ١) و ٢)

$\therefore$ ق ($\angle$ أ هـ ء) = ق ($\angle$ جـ)

$\therefore$ الشكل هـ ب جـ ء رباعي دائري.

السؤال الخامس: في الشكل المقابل: $\underset{أ ب}{\leftarrow }$، $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ مماس للدائرة عند ب، جـ ق ($\angle$ أ) = ٧٠°، ق ($\angle$ جـ ء هـ) = ١٢٥° اثبت أن: جـ ب = جـ هـ

$\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ // $\overline{ب \mathrm{هـ}}$

• $\because$ $\overline{أ ب}،\overline{أ و}$ مماسان

$\therefore$ أ ب = أ جـ

ق ($\angle$ أ ب جـ) = ق ($\angle$ أ جـ ب) = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٧٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٥°

ق ($\angle$ أ ب جـ) المماسية = ق ($\angle$ جـ هـ ب) المحيطية = ٥٥°

$\because$ جـ ب هـ ء رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ ب هـ) = ١٨٠ - ١٢٥ = ٥٥°

$\because$ ق ($\angle$ جـ ب هـ) = ق ($\angle$ جـ هـ ب)

$\therefore$ جـ هـ = جـ ب

• $\because$ ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ أ ب هـ) = ٧٠ + ١١٠ = ١٨٠َ° وهما داخلتان وفي جهة واحدة من القاطع

$\therefore$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ // $\overline{ب \mathrm{هـ}}$