الدرس الثاني: المقارنة بين قياسات الزوايا في المثلث

١) $△$ أ ب جـ فيه أ ب = ٢,٧ سم، ب جـ = ٨,٥ سم، أ جـ = ٦ سم رتب قياسات زوايا المثلث تصاعدياً.

ق ( $∠$ جـ)، ق ( $∠$ ب)، ق ( $∠$ أ)

٢) في الشكل المقابل:

شكل رباعي

س ص > س ل، ص ع > ع ل

برهن أن: ق ( $∠$ س ل ع) > ق ( $∠$ س ص ع)

س ص > س ل

ص ع > ع ل

نقسم الشكل لمثلثين.

شكل رباعي

في المثلث س ص ل

س ص > س ل

ق ( $∠$ ٢) > ق ( $∠$ ١) (١)

في المثلث ع ص ل

ص ع > ع ل

ق ( $∠$ ٤) > ق ( $∠$ ٣) (٢)

بجمع (١) و (٢)

ق ( $∠$ س ل ع) > ق ( $∠$ س ص ع)

٣) في الشكل المقابل:

مثلث

$\bar{ب م}$ متوسط في $△$ أ ب جـ، ب م < أ م

برهن أن: $∠$ أ ب جـ منفرجة.

نحدد الزوايا ١، ٢، ٣، ٤

مثلث

في المثلث أ ب م

أ م > ب م

ق ( $∠$ ٢) > ق ( $∠$ ١) (١)

في المثلث ب م جـ

أ م = م جـ

م جـ > ب م

ق ( $∠$ ٤) > ق ( $∠$ ٣) (٢)

بجمع (١) و (٢)

ق ( $∠$ ٢) > ق ( $∠$ ٤) > ق ( $∠$ ١) > ق ( $∠$ ٣)

ق ( $∠$ ب) > ق ( $∠$ أ) + ق ( $∠$ جـ)

$∴$ $△$ منفرج الزاوية

الزاوية ب منفرجة

٤) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب جـ مثلث فيه أ ب > أ جـ، $\bar{س ص}$ // $\bar{ب جـ}$

برهن أن: ق ( $∠$ أ ص س) > ق ( $∠$ أ س ص)

نحدد الزوايا ١، ٢، ٣، ٤

مثلث

أ ب > أ جـ

في المثلث أ ب جـ

أ ب > أ جـ

ق ( $∠$ ٤) > ق ( $∠$ ٣) (١)

بما ان س ص // ب جـ

ق ( $∠$ ١) = ق ( $∠$ ٣) بالتناظر

ق ( $∠$ ٢) = ق ( $∠$ ٤) بالتناظر (٢)

إذاً من (١) و (٢)

ينتج أن

ق ( $∠$ ٢) > ق ( $∠$ ١)

ق ( $∠$ أ ص س) > ق ( $∠$ أ س ص)

٥) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب جـ مثلث، $\underset{ب م}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ أ ب جـ،

$\underset{جـ م}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ أ جـ ب.

فإذا كان: أ ب > أ جـ، برهن أن:

ق ( $∠$ م جـ ب) > ق ( $∠$ م ب جـ)

في المثلث أ ب جـ

أ ب > أ جـ

إذاً ق ( $∠$ جـ) > ق ( $∠$ ب) (١)

$\underset{ب م}{\leftarrow}$ ينصف ( $∠$ ب)

ق ( $∠$ م ب جـ) = $\frac{١}{٢}$ ق ( $∠$ ب) (٢)

$\underset{م جـ}{\leftarrow}$ ينصف ( $∠$ جـ)

ق ( $∠$ م جـ ب) = $\frac{١}{٢}$ ق ( $∠$ جـ) (٢)

من (١) و (٢) ينتج أن

ق ( $∠$ م جـ ب) > ق ( $∠$ م ب جـ)

٦) في الشكل المقابل:

شكل رباعي

أ ب جـ ء شكل رباعي فيه أ ء = ء جـ، ب جـ > أ ب

برهن أن:

ق ( $∠$ أ) > ق ( $∠$ جـ)

نقسم الشكل إلى مثلثين ونحدد الزوايا ١، ٢، ٣، ٤

شكل رباعي

في المثلث أ ء جـ

بما أن أ ء = ء جـ

ق ( $∠$ ١) = ق ( $∠$ ٢) (١)

في المثلث أ ب جـ

بما أن ب جـ > أ ب

ق ( $∠$ ٣) = ق ( $∠$ ٤) (٢)

بجمع (١) و (٢)

ق ( $∠$ ١) + ق ( $∠$ ٣) > ق ( $∠$ ٢) = ق ( $∠$ ٤)

ق ( $∠$ أ) = ق ( $∠$ جـ)

٧) في الشكل المقابل:

شكل رباعي

أ ب جـ د مستطيل، س $\in$ $\bar{ب جـ}$ حيث

أ س > س د أثبت أن:

ق ( $∠$ س أ ب) > ق ( $∠$ س د جـ)

نحدد الزوايا ١، ٢، ٣، ٤

في المثلث أ س ء

أ س > س ء

ق ( $∠$ ٤) > ق ( $∠$ ٣) (١)

ق ( $∠$ ٤) + ق ( $∠$ ٣) = ٩٠° (٢)

ق ( $∠$ ٣) + ق ( $∠$ ١) = ٩٠° (٢)

من (١) و (٢)

ق ( $∠$ ١) > ق ( $∠$ ٢)

٨) في الشكل المقابل:

مثلث

$△$ أ ب جـ، $\bar{أ د}$ ، $\bar{ب هـ}$ متوسطان فيه تقاطعا في م، إذا كان م د > م هـ فبرهن أن:

ق ( $∠$ م أ ب) < ق ( $∠$ م ب أ)

بما أن $\bar{أ ء}$ ، $\bar{ب هـ}$ متوسطات

في المثلث

$\bar{أ ب}$ $\cap$ $\bar{ب جـ}$ = {م}

إذاً م نقطة تقاطع متوسطات المثلث

بما أن م ء = $\frac{١}{٢}$ م أ

وبالمثل م هـ = $\frac{١}{٢}$ ب م

م ء > م هـ

م أ > ب م

ق ( $∠$ أ ب م) < ق ( $∠$ م أ ب)

٩) أ ب جـ ء شكل رباعي فيه $\bar{أ ب}$ أكبر الأضلاع طولاً، $\bar{جـ ء}$ أصغر الأضلاع طولاً برهن أن:

ق ( $∠$ ب جـ ء) > ق ( $∠$ ب أ ء)

نرسم الشكل ونحدد الزوايا ١، ٢، ٣، ٤

شكل رباعي

في المثلث أ ب جـ

بما أن $\bar{أ ب}$ أكبر الأضلاع طولاً

إذاً أ ب > ب جـ

ق ( $∠$ ٢) > ق ( $∠$ ١) (١)

في المثلث أ ء جـ

بما أن $\bar{جـ ء}$ أصغر الأضلاع طولاً

إذاً أ ء > جـ ء

ق ( $∠$ ٤) > ق ( $∠$ ٣) (٢)

من (١) و (٢) نجد أن

ق ( $∠$ جـ) > ق ( $∠$ أ)

الدرس الثاني: المقارنة بين قياسات الزوايا في المثلث

١) △ أ ب جـ فيه أ ب = ٢,٧ سم، ب جـ = ٨,٥ سم، أ جـ = ٦ سم رتب قياسات زوايا المثلث تصاعدياً.

٢) في الشكل المقابل:

س ص > س ل، ص ع > ع ل

برهن أن: ق (∠ س ل ع) > ق (∠ س ص ع)

٣) في الشكل المقابل:

ب م¯ متوسط في △ أ ب جـ، ب م < أ م

برهن أن: ∠ أ ب جـ منفرجة.

٤) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث فيه أ ب > أ جـ، س ص¯ // ب جـ¯

برهن أن: ق (∠ أ ص س) > ق (∠ أ س ص)

٥) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث، ←ب م ينصف ∠ أ ب جـ،

←جـ م ينصف ∠ أ جـ ب.

فإذا كان: أ ب > أ جـ، برهن أن:

ق (∠ م جـ ب) > ق (∠ م ب جـ)

٦) في الشكل المقابل:

أ ب جـ ء شكل رباعي فيه أ ء = ء جـ، ب جـ > أ ب

برهن أن:

ق (∠ أ) > ق (∠ جـ)

٧) في الشكل المقابل:

أ ب جـ د مستطيل، س ∈ ب جـ¯ حيث

أ س > س د أثبت أن:

ق (∠ س أ ب) > ق (∠ س د جـ)

٨) في الشكل المقابل:

△ أ ب جـ، أ د¯، ب هـ¯ متوسطان فيه تقاطعا في م، إذا كان م د > م هـ فبرهن أن:

ق (∠ م أ ب) < ق (∠ م ب أ)

٩) أ ب جـ ء شكل رباعي فيه أ ب¯ أكبر الأضلاع طولاً، جـ ء¯ أصغر الأضلاع طولاً برهن أن:

ق (∠ ب جـ ء) > ق (∠ ب أ ء)

١) $△$ أ ب جـ فيه أ ب = ٢,٧ سم، ب جـ = ٨,٥ سم، أ جـ = ٦ سم رتب قياسات زوايا المثلث تصاعدياً.

برهن أن: ق ( $∠$ س ل ع) > ق ( $∠$ س ص ع)

$\bar{ب م}$ متوسط في $△$ أ ب جـ، ب م < أ م

برهن أن: $∠$ أ ب جـ منفرجة.

أ ب جـ مثلث فيه أ ب > أ جـ، $\bar{س ص}$ // $\bar{ب جـ}$

برهن أن: ق ( $∠$ أ ص س) > ق ( $∠$ أ س ص)

أ ب جـ مثلث، $\underset{ب م}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ أ ب جـ،

$\underset{جـ م}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ أ جـ ب.

ق ( $∠$ م جـ ب) > ق ( $∠$ م ب جـ)

ق ( $∠$ أ) > ق ( $∠$ جـ)

أ ب جـ د مستطيل، س $\in$ $\bar{ب جـ}$ حيث

ق ( $∠$ س أ ب) > ق ( $∠$ س د جـ)

$△$ أ ب جـ، $\bar{أ د}$ ، $\bar{ب هـ}$ متوسطان فيه تقاطعا في م، إذا كان م د > م هـ فبرهن أن:

ق ( $∠$ م أ ب) < ق ( $∠$ م ب أ)

٩) أ ب جـ ء شكل رباعي فيه $\bar{أ ب}$ أكبر الأضلاع طولاً، $\bar{جـ ء}$ أصغر الأضلاع طولاً برهن أن:

ق ( $∠$ ب جـ ء) > ق ( $∠$ ب أ ء)