الدرس الثالث: المقارنة بين أطوال الأضلاع في المثلث

١) $△$ أ ب جـ فيه ق ( $∠$ أ) = ٤٠°، ق ( $∠$ ب) = ٧٥°، رتب أطوال أضلاع المثلث تنازلياً.

ق ( $∠$ ب) > ق ( $∠$ جـ) $\Leftarrow$ أ جـ > أ ب

ترتيب أطوال الأضلاع نوجد الزاوية الثالثة

ق ( $∠$ جـ) = ١٨٠ - ١١٥ = ٦٥

نرتب الأضلاع تنازلياً حسب الزوايا

أ جـ، أ ب، ب جـ

٢) في الشكل المقابل:

شكل رباعي

$\underset{أ ء}{\leftarrow}$ // $\bar{ب جـ}$ ، ق ( $∠$ ب أ جـ) = ٨٠°

ق ( $∠$ ء أ جـ) = ٣٠° برهن أن: ب جـ > أ ب

$∵$ $\underset{أ ء}{\leftarrow}$ // $\bar{ب جـ}$

ق ( $∠$ ء أ جـ) = ق ( $∠$ أ جـ ب) = ٣٠° بالتبادل.

$∵$ ق ( $∠$ ب أ جـ) > ق ( $∠$ أ جـ ب)

إذاً ب جـ > أ ب

٣) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب جـ مثلث ء $\in$ $\bar{ب جـ}$ حيث ب ء = أ ء

برهن أن: ب جـ > أ جـ

مثلث

بما أن ب ء = أ ء

إذاً ق ( $∠$ ١) = ق ( $∠$ ٢) (١)

بما أن ق ( $∠$ أ) = ق ( $∠$ ١) + ق ( $∠$ ء أ جـ)

ق ( $∠$ أ) > ق ( $∠$ ٢) > ق ( $∠$ ١)

ب جـ > أ جـ

٤) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب جـ مثلث، $\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ جـ ويقطع $\bar{أ ب}$ في ء

ق ( $∠$ ب ء جـ) = ١٠٠°، ء ب = ء جـ

برهن أن: أ جـ > ء ب.

بما أن ب = ء جـ

إذاً ق ( $∠$ ء ب جـ) = ق ( $∠$ ء جـ ب) = $\frac{١٨٠ - ١٠٠}{٢} = \frac{٨٠}{٢}$ = ٤٠

$\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ ينصف ( $∠$ جـ)

إذاً ق ( $∠$ أ جـ ء) = ق ( $∠$ ء جـ ب) = ٤٠°

بما أن ( $∠$ ب ء جـ) خارجة عن المثلث أ ء جـ

إذاً ق ( $∠$ ب ء جـ) = ق (ق ( $∠$ أ) + ق ( $∠$ أ جـ ء)

ق ( $∠$ أ) = ١٠٠ - ٤٠ = ٦٠°

بما أن ق ( $∠$ أ ء جـ) = ١٨٠ - ١٠٠ = ٨٠°

ق ( $∠$ أ ء جـ) = ق ( $∠$ أ)

إذاً أ جـ > جـ ء

ولكن جـ ء = ب ء

إذاً أ جـ > ب ء

٥) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب جـ مثلث، ء $\in$ $\underset{جـ ب}{\leftarrow}$ ، هـ $\in$ $\underset{أ جـ}{\leftarrow}$

ق ( $∠$ أ ب ء) = ١١٠°، ق ( $∠$ ب جـ هـ) = ١٢٠°

برهن أن: أ ب > ب جـ.

بما أن ق ( $∠$ ء ب جـ) = ١٨٠°

إذاً ق ( $∠$ أ ب جـ) = ١٨٠ - ١١٠ = ٧٠°

بالمثل:

بما أن ق ( $∠$ أ جـ هـ) = ١٨٠° لأنها مستقيمة

إذاً ق ( $∠$ أ جـ ب) = ١٨٠ - ١٢٠ = ٦٠°

إذاً مجموع قياسات زواياه = ١٨٠°

ق ( $∠$ أ) = ١٨٠ - ١٣٠ = ٥٠°

أ ب > ب جـ

ق ( $∠$ أ جـ ب) > ق ( $∠$ أ)

أ ب > ب جـ

٦) في الشكل المقابل:

مثلثين

$\bar{أ ب}$ $\cap$ $\bar{جـ ء}$ = {م}، $\bar{أ جـ}$ $⊥$ $\bar{جـ ء}$ ، $\bar{ب ء}$ $⊥$ $\bar{جـ ء}$

برهن أن: أ ب > جـ ء

في المثلث أ جـ م

بما أن ق ( $∠$ جـ) = ٩٠°

إذاً أ م > جـ م (١)

في المثلث م ء جـ

بما أن ق ( $∠$ جـ) = ٩٠°

إذاً م ب > م ء (٢)

بجمع (١) و (٢)

أ م + م ب > جـ م + م ء

أ ب > جـ ء

٧) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب جـ مثلث منفرج الزاوية في ب

$\bar{ء هـ}$ // $\bar{ب جـ}$

برهن أن: أ هـ > أ ء

بما أن $\bar{ء هـ}$ // $\bar{ب جـ}$

إذاً ق ( $∠$ أ ء هـ) = ق ( $∠$ ب) بالتناظر

و ( $∠$ أ ء هـ) منفرجة

إذاً ( $∠$ أ ء هـ) > ق ( $∠$ أ هـ ء)

أ هـ > أ ء

٨) أ ب جـ مثلث، $\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ جـ، $\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ $\cap$ $\bar{أ ب}$ = {ء}

برهن أن: ب جـ > ب ء

مثلث

بما أن $\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ ينصف ( $∠$ جـ)

ق ( $∠$ أ) = ق ( $∠$ ٢) (١)

بما أن ق ( $∠$ ب ء جـ) خارجة عن المثلث أ ء جـ

إذاً ( $∠$ ب ء جـ) > ق ( $∠$ ٢)

لكن من (١)

ق ( $∠$ ب ء جـ) > ق ( $∠$ ١)

ب جـ > ب ء

٩) $△$ أ ب جـ فيه ق ( $∠$ أ) = (٥س + ٢)°، ق ( $∠$ ب) = (٦س - ١٠)°، ق ( $∠$ جـ) = (س + ٢٠)°، رتب أطوال أضلاع المثلث تصاعدياً.

ق ( $∠$ أ) + ق ( $∠$ ب) + ق ( $∠$ جـ) = ١٨٠

٥س + ٢ + ٦س - ١٠ + س + ٢٠ = ١٨٠

١٢س + ١٢ = ١٨٠

١٢س = ١٨٠ - ١٢

١٢س = ١٦٨

س = ١٤

ق ( $∠$ أ) = ٥ × ١٤ + ٢ = ٧٢

ق ( $∠$ ب) = ٦ × ١٤ - ١٠ = ٧٤

ق ( $∠$ جـ) = ١٤ + ٢٠ = ٣٤

أ ب، ب جـ، أ جـ

١٠) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث، ء $\in$ $\bar{ب جـ}$ ، أ ب = أ ء = ب ء

برهن أن: ب جـ > أ جـ

مثلث

بما أن في المثلث أ ب ء متساوي الأضلاع

إذاً قياس كل زاوية من زواياه = ٦٠°

ق ( $∠$ أ) > ٦٠°

ق ( $∠$ أ) > ق ( $∠$ ب)

ب جـ > أ جـ

١١) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب، ء $\in$ $\bar{أ جـ}$ ، هـ $\in$ $\bar{ب جـ}$ بحيث أ ء = ب هـ أثبت أن:

ق ( $∠$ جـ هـ ء) > ق ( $∠$ جـ ء هـ)

في المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب

إذاً أ جـ > ب جـ

أ جـ - أ ء > ب جـ - ب جـ

إذاً ء جـ > هـ جـ

ق ( $∠$ جـ هـ ء) > ق ( $∠$ جـ ء هـ)

الدرس الثالث: المقارنة بين أطوال الأضلاع في المثلث

١) △ أ ب جـ فيه ق (∠ أ) = ٤٠°، ق (∠ ب) = ٧٥°، رتب أطوال أضلاع المثلث تنازلياً.

٢) في الشكل المقابل:

←أ ء // ب جـ¯، ق (∠ ب أ جـ) = ٨٠°

ق (∠ ء أ جـ) = ٣٠° برهن أن: ب جـ > أ ب

٣) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث ء ∈ ب جـ¯ حيث ب ء = أ ء

برهن أن: ب جـ > أ جـ

٤) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث، ←جـ ء ينصف ∠ جـ ويقطع أ ب¯ في ء

ق (∠ ب ء جـ) = ١٠٠°، ء ب = ء جـ

برهن أن: أ جـ > ء ب.

٥) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث، ء ∈ ←جـ ب، هـ ∈ ←أ جـ

ق (∠ أ ب ء) = ١١٠°، ق (∠ ب جـ هـ) = ١٢٠°

برهن أن: أ ب > ب جـ.

٦) في الشكل المقابل:

أ ب¯ ∩ جـ ء¯ = {م}، أ جـ¯ ⊥ جـ ء¯، ب ء¯ ⊥ جـ ء¯

برهن أن: أ ب > جـ ء

٧) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث منفرج الزاوية في ب

ء هـ¯ // ب جـ¯

برهن أن: أ هـ > أ ء

٨) أ ب جـ مثلث، ←جـ ء ينصف ∠ جـ، ←جـ ء ∩ أ ب¯ = {ء}

برهن أن: ب جـ > ب ء

٩) △ أ ب جـ فيه ق (∠ أ) = (٥س + ٢)°، ق (∠ ب) = (٦س - ١٠)°، ق (∠ جـ) = (س + ٢٠)°، رتب أطوال أضلاع المثلث تصاعدياً.

١٠) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث، ء ∈ ب جـ¯، أ ب = أ ء = ب ء

برهن أن: ب جـ > أ جـ

١١) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب، ء ∈ أ جـ¯، هـ ∈ ب جـ¯ بحيث أ ء = ب هـ أثبت أن:

ق (∠ جـ هـ ء) > ق (∠ جـ ء هـ)

١) $△$ أ ب جـ فيه ق ( $∠$ أ) = ٤٠°، ق ( $∠$ ب) = ٧٥°، رتب أطوال أضلاع المثلث تنازلياً.

$\underset{أ ء}{\leftarrow}$ // $\bar{ب جـ}$ ، ق ( $∠$ ب أ جـ) = ٨٠°

ق ( $∠$ ء أ جـ) = ٣٠° برهن أن: ب جـ > أ ب

أ ب جـ مثلث ء $\in$ $\bar{ب جـ}$ حيث ب ء = أ ء

أ ب جـ مثلث، $\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ جـ ويقطع $\bar{أ ب}$ في ء

ق ( $∠$ ب ء جـ) = ١٠٠°، ء ب = ء جـ

أ ب جـ مثلث، ء $\in$ $\underset{جـ ب}{\leftarrow}$ ، هـ $\in$ $\underset{أ جـ}{\leftarrow}$

ق ( $∠$ أ ب ء) = ١١٠°، ق ( $∠$ ب جـ هـ) = ١٢٠°

$\bar{أ ب}$ $\cap$ $\bar{جـ ء}$ = {م}، $\bar{أ جـ}$ $⊥$ $\bar{جـ ء}$ ، $\bar{ب ء}$ $⊥$ $\bar{جـ ء}$

$\bar{ء هـ}$ // $\bar{ب جـ}$

٨) أ ب جـ مثلث، $\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ ينصف $∠$ جـ، $\underset{جـ ء}{\leftarrow}$ $\cap$ $\bar{أ ب}$ = {ء}

٩) $△$ أ ب جـ فيه ق ( $∠$ أ) = (٥س + ٢)°، ق ( $∠$ ب) = (٦س - ١٠)°، ق ( $∠$ جـ) = (س + ٢٠)°، رتب أطوال أضلاع المثلث تصاعدياً.

أ ب جـ مثلث، ء $\in$ $\bar{ب جـ}$ ، أ ب = أ ء = ب ء

١١) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب، ء $\in$ $\bar{أ جـ}$ ، هـ $\in$ $\bar{ب جـ}$ بحيث أ ء = ب هـ أثبت أن:

ق ( $∠$ جـ هـ ء) > ق ( $∠$ جـ ء هـ)