الدرس الأول: البرهان والاستدلال

أولاً:

١) في الشكل المقابل: أثبت أنه:

[أ] إذا كان $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ فإن ق ($\angle$ س هـ أ) = ق ($\angle$ هـ و حـ)

[ب] إذا كان $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ فإن ق ($\angle$ هـ و جـ) + ق ($\angle$ أ هـ و) = ١٨٠°

[جـ] إذا كان ق ($\angle$ أ هـ س) = ق ($\angle$ هـ و جـ) فإن $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$

[د] إذا كان ق ($\angle$ هـ و جـ) + ق ($\angle$ أ هـ و) = ١٨٠° فإن $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$

٢) أثبت أن: [أ] المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على المس تقيم الآخر.

[ب] إذا وازى مستقيما ن مستقيماً ثالثاً كان هذان المستقيمان متوازيين.

٣) في الشكل المقابل:

أثبت أن ق ($\angle$ ء س هـ) = ٨٥°

ثم أوجد ق ($\angle$ ء س جـ)، ق ($\angle$ هـ س و)

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث فيه ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)، $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ منصف $\angle$ ب أ جـ. أثبت أن: أ ب = أ جـ

٥) في الشكل المقابل: هـ جـ = ء ب، ء س ص هـ مستطيل أثبت أن: ق ($\angle$ أ ء هـ) = ق ($\angle$ أ هـ ء)

٦) في الشكل المقابل: أ ء = جـ ء، أ ب = ب جـ استخدم خاصية تطابق المثلثين في إثبات أن:

[أ] $\overline{ب ء}$ ينصف $\angle$ أ ء جـ

[ب] $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء ب}$ متعامدان

٧) في الشكل المقابل:

[أ] هل $△$ أ ء هـ يطابق $△$ جـ ب و؟ ولماذا؟

[ب] أثبت أن:

١) $△$ ء هـ و $\equiv$$△$ ب و هـ

٢) $△$ أ ب هـ $\equiv$$△$ حـ ء و

٨) في الكل المقابل:

[أ] هل $△$ س أ ك يطابق $△$ ك ب ع؟ لماذا؟

[ب] أثبت أن:

١) $△$ س ك ص $\equiv$ $△$ ع ص ك

٢) $△$ س ء ص $\equiv$ $△$ ص جـ ع

١٠) في الشكل المقابل:

أ ء = أ هـ، ق ($\angle$ أ ء جـ) = ق ($\angle$ أ هـ ب)

أثبت أن:

[أ] ب هـ = جـ ء

[ب] ب ء = جـ هـ

ثانياً:

١١) في كل من الأشكال الآتية إذا كان $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ // $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ فعين مع ذكر السبب ق ($\angle$ أ ب جـ)

[أ]

البرهان: بما أن أ ء // ب جـ، أ ب قاطع لهما.

إذاً ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ ب) = ١٨٠°

إذاً ق ($\angle$ ب) = ١٨٠ - ٧٢ = ١٠٨° بالتداخل.

[ب]

البرهان: بما أن أ ء // ب جـ، أ ب قاطع لهما

إذاً ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ب) = ٥٧° بالتبادل.

[جـ]

البرهان: أ ء // ب جـ، أ ب قاطع لهما

ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ هـ أ ء) = ٦٣° بالتناظر.

١٢) في كل من الأشكال الآتية إذا كان $\overleftrightarrow{م ن}$ يقطع $\overleftrightarrow{أ ب}$، $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ في هـ، و على الترتيب. أثبت أن: $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$

[أ]

بما أن $\angle$ أ هـ ب مستقيمة.

إذاً ق ($\angle$ أ هـ م) = ١٨٠ - ١٢٢ = ٥٨°

ق ($\angle$ أ هـ م) = ق ($\angle$ جـ و م) = ٥٨°

وهما في وضع تناظر.

إذاً أ ب // جـ ء

[ب]

بما أن ($\angle$ أ هـ ن) = ق ($\angle$ م هـ ب) = ١٠٠° بالتقابل بالرأس.

ق ($\angle$ جـ و م) = ق ($\angle$ ء و ن) = ٨٠° بالتقابل بالرأس.

ق ($\angle$ أ هـ و) + ق ($\angle$ جـ و هـ) = ١٠٠ + ٨٠ = ١٨٠° وهما زاويتان داخلتان.

إذاً أ ب // جـ ء

[جـ]

بما أن ($\angle$ أ هـ م) = ق ($\angle$ م هـ ب) = ١٣٢° بالتقابل بالرأس.

ق ($\angle$ جـ و هـ) = ق ($\angle$ ن و ء) = ١٣٢° بالتقابل بالرأس.

ق ($\angle$ ب هـ و) + ق ($\angle$ جـ و هـ) = ١٣٢° وهما في وضع تبادل.

إذاً أ ب // جـ ء

١٣) في الشكل المقابل: $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$ $\cap$ $\overleftrightarrow{ء \mathrm{هـ}}$ = {ب}، ق ($\angle$ أ ب ء) = ٤٠°، $\underset{ب \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ جـ ب و أوجد ق ($\angle$ أ ب و)

البرهان: بما أن أ جـ $\cap$ ء هـ = {ب}

إذاً ق ($\angle$ أ ب ء) = ق ($\angle$ هـ ب جـ) = ٤٠° بالتقابل بالرأس

بما أن $\underset{ب \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ جـ ب و

إذاً ق ($\angle$ جت ب و) = ٤٠ × ٢٠ = ٨٠°

بما أن ب $\in$ $\overleftrightarrow{أ د}$ ق ($\angle$ أ ب د) = ١٨٠°

فإن قياس ($\angle$ أ ب و) = ١٨٠ - ٨٠ = ١٠٠°

١ ٤) في الشكل المقابل: ب $\in$ $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ جـ ب هـ) = ١١٦°، $\overleftrightarrow{ب ء}$ ينصف $\angle$ أ ب هـ. أوجد ق ($\angle$ أ ب ء)

البرهان: ب $\in$ $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ أ ب د) = ١٨٠°

إذاً ($\angle$ أ ب هـ) = ١٨٠ - ١١٦ = ٦٤°

بما أن $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب هـ

إذاً ق ($\angle$ أ ب ء) = $\frac{\mathrm{٦٤}}{\mathrm{٢}}$ = ٣٢°

١٥) في الشكل المقابل: ق ($\angle$ أ ب و) = ٣٠°، $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$ $\cap$ $\overleftrightarrow{و ء}$ = {ب}، ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٤٠°، أوجد ق ($\angle$ ء ب جـ)

ب $\in$ و ء إذاً ق ($\angle$ و ب ء) = ١٨٠°

ق ($\angle$ ء ب جـ) = ١٨٠ - [٣٠ + ٤٠] = ١١٠°

١٦) في الشكل المقابل: ق ($\angle$ أ ب جـ) = ١١٠°، ق ($\angle$ جـ ب ء) = ٣٥°، ق($\angle$ أ ب هـ) = ١٤٠°، أوجد ق ($\angle$ هـ ب ء)

مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة = ٣٦٠°

ق ($\angle$ هـ ب ء) = ٣٦٠ [١٤٠ + ١١٠ + ٣٥] = ٧٥°

١٧) في الشكل المقابل: $\underset{أ ب}{\leftarrow }$ // $\underset{\mathrm{جـ} ء}{\leftarrow }$، ق ($\angle$ أ) = ٥٠°، $\angle$ أ جـ هـ قائمة، ق ($\angle$ هـ) = ٤٠° أثبت أن: $\underset{أ ب}{\leftarrow }$ // $\underset{\mathrm{هـ} و}{\leftarrow }$

أ ب // جـ ء، أ جـ قاطع لهما $\leftarrow$ (١)

ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ أ ب ء) = ٥٠° بالتبادل.

ق ($\angle$ أ جـ هـ) = ٩٠°

ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٩٠ - ٥٠ = ٤٠

ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ق ($\angle$ هـ) = ٤٠° وهما في وضع التبادل

إذاً هـ و // جـ ء $\leftarrow$ (٢)

من ١) و٢) ينتج أن أ ب // هـ و

١٨) في الشكل المقابل: $\overline{\mathrm{هـ} و}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$، ق ($\angle$ جـ هـ و) = ٩٥°، ق ($\angle$ أ جـ هـ) = ٣٠°، ق ($\angle$ ب أ جـ) = ١١٥° أثبت أن: $\underset{أ ب}{\leftarrow }$ // $\underset{\mathrm{هـ} و}{\leftarrow }$

بما أن هـ و // جـ ء، هـ د قاطع لهما $\leftarrow$ (١)

إذاً ق ($\angle$ هـ) = ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٩٥ بالتبادل.

ق ($\angle$ ء جـ أ) = ٩٥ - ٣٠ = ٦٥°

ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ أ جـ ء) = ١١٥ + ٦٥ = ١٨٠° وهما في وضع تداخل

إذاً أ ب // جـ ء $\leftarrow$ (٢)

من ١) و٢) ينتج أن أ ب // هـ و

١٩) أ ب جـ ء شبه منحرف فيه $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، هـ منتصف $\overline{أ ب}$، رسم $\underset{\mathrm{هـ} س}{\leftarrow }$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ يقطع $\overline{ء ب}$ في س، $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ في ص، ورسم $\underset{ص ع}{\leftarrow }$ // $\overline{ء ب}$ يقطع $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ في ع أثبت أن: س ء = ص ع