الدرس الرابع: متباينة المثلث

١) إذا كان طولا ضلعين ف ي مثلث متساوي الساقين ٥ سم، ١٢ سم فما هو طول الضلع الثالث؟ اذكر السبب.

مجموع أي ضلعين في مثلث > من الضلع الثالث

٥ + ٥ = ١٠ > ١٢ (خطأ)

٥ + ١٢ > ١٢

أضلاع المثلث ١٢، ١٢، ٥

٢) بين أي مجموعات الأطوال الآتية تصلح لأن تستخدم في رسم مثلث:

أ) ٥سم، ٧سم، ٨سم

ب) ٤سم، ٩سم، ٣سم

جـ) ١٠سم، ٦سم، ٤سم

د) ١٥سم، ١٧سم، ٣٠سم

٣) برهن أن طول أي ضلع في المثلث أصغر من نصف محيط المثلث.

أ ب جـ

أ ب + أ جـ > ب جـ

بإضافة ب جـ للطرفين.

أ ب + أجـ + ب جـ > ب جـ + ب جـ

محيط المثلث أ ب جـ > ٢ ب جـ

$\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المثلث} أ ب \mathrm{جـ}}{\mathrm{٢}}$ > ب جـ

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ محيط المثلث أ ب جـ > ب جـ

٤) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث، م نقطة داخله برهن أن:

م أ + م ب + م جـ > $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ محيط المثلث أ ب جـ

في المثلث أ ب م

أ م + م ب > أ ب (١)

في المثلث أ م جـ

أ م + م جـ > أ جـ (٢)

في المثلث ب م جـ

م ب + م جـ > ب جـ (٣)

بجمع ١ و٢ و٣

٢أ م + ٢ م ب + ٢ م جـ > محيط المثلث أ ب جـ نقسم على ٢

أ م + م ب + م جـ > $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ محيط المثلث أ ب جـ

٥) برهن أن مجموع طولي قطري اي شكل رباعي محدب أصغر من محيط الشكل.

في المثلث أ ب ء

أ ب > أ ء > ب ء (١)

في المثلث ب جـ ء

ب جـ + جـ ء > ب ء (٢)

أ ب + ب جـ > أ جـ (٣)

أ ء + جـ ء > أ جـ (٤)

بجمع ١، ٢، ٣، ٤

٢أ ب + ٢ أ ء + ٢ ب جـ + ٢ جـ ء > ٢ (أ ب + ب جـ) نقسم على ٢

أ ب + أ ء + ب جـ + جـ ء > أ جـ + ب ء

محيط الشكل أ ب جـ ء > أ جـ + ب ء