تمارين عامة على التباين

١) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع، هـ نقطة داخله ق ( $∠$ هـ جـ ب) > ق ( $∠$ هـ ب جـ)

مثلث

أولاً: برهن أن: ق ( $∠$ أ ب هـ) > ق ( $∠$ أ جـ هـ)

في المثلث أ ب جـ متساوي الأضلاع

ق ( $∠$ ب) = ق ( $∠$ جـ) = ٦٠°

بما أن ق ( $∠$ هـ جـ ب) > ق ( $∠$ هـ ب جـ)

إذاً ق ( $∠$ هـ ب أ) > ق ( $∠$ هـ جـ أ)

ثانياً: ق ( $∠$ أ) > ق ( $∠$ أ ب هـ) > ق ( $∠$ أ جـ هـ)

ق ( $∠$ أ) = ٦٠°

ق ( $∠$ أ ب هـ) < ٦٠°

إذاً ق ( $∠$ أ) > ق ( $∠$ أ ب هـ) > ق ( $∠$ أ جـ هـ)

٢) في الشكل المقابل:

مثلث

ء ب = ء جـ

ق ( $∠$ أ ب جـ) > ق ( $∠$ أ جـ ب)

برهن أن : ق ( $∠$ أ ب ء) > ق ( $∠$ أ جـ ء)

ق ( $∠$ أ ب جـ) > ق ( $∠$ أ جـ ب) (١)

إذاً ء ب = ء جـ

ق ( $∠$ ١) > ق ( $∠$ ٢) (٢)

نطرح ٢ من ١

ق ( $∠$ أ ب جـ) - ق ( $∠$ ١) > ق ( $∠$ أ جـ ب) - ق ( $∠$ ٢)

ق ( $∠$ أ ب ء) > ق ( $∠$ أ جـ ء)

٣) أ ب جـ مثلث فيه أ ب = ٦ سم، أ جـ = ٧ سم، ب جـ = ٨ سم رتب قياس زواياه ترتيباً تصاعدياً.

ق ( $∠$ جـ)، ق ( $∠$ ب)، ق ( $∠$ أ)

٤) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب > أ جـ، ء ب = ء جـ

برهن أن ق ( $∠$ ب أ ء) < ق ( $∠$ جـ أ ء)

العمل: نرسم $\bar{ء هـ}$ // $\bar{أ جـ}$

بما أن ء منتصف $\bar{ب جـ}$ ، $\bar{ء هـ}$ // $\bar{أ جـ}$

إذاً هـ منتصف أ ب

بما أن $\bar{ء هـ}$ // $\bar{ب جـ}$

إذاً ق ( $∠$ ٢) = ق ( $∠$ ٣) بالتبادل

ء هـ = $\frac{١}{٢}$ أ جـ، أ هـ = $\frac{١}{٢}$ أ ب

ولكن من المعطى أ ب > أ جـ

أ هـ > ء هـ

ق ( $∠$ ٣) = ق ( $∠$ ١)

ق ( $∠$ ٢) = ق ( $∠$ ١)

٥) في الشكل المقابل:

مثلث

س ع > س ص، س ل $⊥$ ع ص

برهن أن ق ( $∠$ ل س ع) > ق ( $∠$ ل س ص)

بما أن س ع > س ص

ق ( $∠$ ص) > ق ( $∠$ ع) (١)

مجموع زوايا المثلث = ١٨٠°

إذاً ق ( $∠$ ل س ع) > ق ( $∠$ ل س ص)

٦) في الشكل المقابل:

شكل هندسي

أ ب جـ ء شكل رباعي فيه أ ب = أ ء = ٥ سم

ب جـ = ٢ سم، ء جـ = ٤سم.

برهن أن ق ( $∠$ أ ب جـ) > ق ( $∠$ أ ء جـ)

في المثلث أ ب ء

بما أن أ ب = أ ء

إذاً ق ( $∠$ ١) = ق ( $∠$ ٢) (١)

في المثلث ب جـ ء

بما أن جـ ء > ب جـ

إذاً ق ( $∠$ ٣) > ق ( $∠$ ٤)

نجمع ١ و٢

ق ( $∠$ أ ب جـ) > ق ( $∠$ ء)

٧) في الشكل المقابل:

مثلث

ق ( $∠$ ء ب جـ) = ١٤٠°

ق ( $∠$ هـ جـ ب) = ١٢٠°

برهن أن جـ ب > أ ب

ق ( $∠$ أ ب ء) = ١٨٠° لأنها مستقيمة.

إذاً ق ( $∠$ أ ب جـ) = ١٨٠ - ١٤٠ = ٤٠°

ق ( $∠$ أ جـ هـ) = ١٨٠ لأنها مستقيمة.

ق ( $∠$ أ جـ ب) = ١٨٠ - ١٢٠ = ٦٠°

في المثلث أ ب جـ

مجموع قياسات زوايا المثلث = ١٨٠°

ق ( $∠$ أ) = ق ( $∠$ جـ)

ب جـ > أ ب

٨) في الشكل المقابل:

مثلث

أ ب = أ جـ

ق ( $∠$ أ ب جـ) = ٦٥°

ق ( $∠$ أ جـ ء) = ٢٠°

برهن أن أ ب > أ ء

بما ان أ ب = أ جـ

إذاً ق ( $∠$ ب) = ق ( $∠$ أ جـ ب) = ٦٥°

ق ( $∠$ ب أ جـ) = ١٨٠ - ١٣٠ = ٥٠°

ق ( $∠$ أ ء جـ) = ١٨٠ - ٥٠ = ١٣٠°

ق ( $∠$ ء) = ١٨٠ - ١٥٠ = ٣٠°

إذاً ق ( $∠$ ء) > ق ( $∠$ أ جـ ء)

أ جـ > أ ء

ولكن أ ب = أ جـ

أ ب > أ ء

٩) في الشكل المقابل:

مثلث

ق ( $∠$ ب) = ٩٠°

برهن أن أ جـ > ء جـ

بما أن الزاوية (١) خارجة عن المثلث ب جـ ء

ق ( $∠$ ١) > ق ( $∠$ ب)

$∴$ ق ( $∠$ ١) > ٩٠° منفرجة.

$∴$ ق ( $∠$ ١) > ق ( $∠$ أ)

أ جـ > جـ ء

١٠) في الشكل المقابل:

مثلث

أ جـ > ء جـ، ق ( $∠$ جـ أ ء) = ق ( $∠$ ب أ ء)

أ هـ = أ جـ

برهن أن:

أ) ء هـ = ء جـ

$△$ أ جـ ء، $△$ أ هـ د

فيهما

أ جـ = أ هـ
ق ( $∠$ جـ أ ء) = ق ( $∠$ هـ أ ء)
$\bar{أ ء}$ مشترك.

في المثلث أ جـ ء $\equiv$ المثلث أ هـ ء ينتج أن

جـ = ء هـ

ب) ق ( $∠$ ب هـ ء) > ق ( $∠$ أ ء جـ)

ق ( $∠$ ١) ق ( $∠$ ٢)

ق ( $∠$ ٢) ق ( $∠$ ٤)

( $∠$ ب هـ ء) خارجة عن المثلث أ ء هـ

إذاً ( $∠$ ب هـ ء) > ق ( $∠$ ٢)

ولكن ق ( $∠$ ١) = ق ( $∠$ ٢)

ق ( $∠$ ب هـ ء) > ق ( $∠$ ١)

ق ( $∠$ ب هـ ء) > ق ( $∠$ أ ء جـ)

جـ) ب ء > ء جـ

( $∠$ ١) خارجة عن المثلث أ ء جـ

إذاً ق ( $∠$ ١) > ق ( $∠$ ب)

ولكن ق ( $∠$ ب هـ ء) > ق ( $∠$ ١)

ق ( $∠$ ب هـ ء) > ق ( $∠$ ب)

إذاً ء ب > ء هـ ولكن ء جـ = ء هـ

ب ء > ء جـ

تمارين عامة على التباين

١) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع، هـ نقطة داخله ق (∠ هـ جـ ب) > ق (∠ هـ ب جـ)

أولاً: برهن أن: ق (∠ أ ب هـ) > ق (∠ أ جـ هـ)

ثانياً: ق (∠أ) > ق (∠ أ ب هـ) > ق (∠ أ جـ هـ)

٢) في الشكل المقابل:

ء ب = ء جـ

ق (∠ أ ب جـ) > ق (∠ أ جـ ب)

برهن أن : ق (∠ أ ب ء) > ق (∠ أ جـ ء)

٣) أ ب جـ مثلث فيه أ ب = ٦ سم، أ جـ = ٧ سم، ب جـ = ٨ سم رتب قياس زواياه ترتيباً تصاعدياً.

٤) في الشكل المقابل:

أ ب > أ جـ، ء ب = ء جـ

برهن أن ق (∠ ب أ ء) < ق (∠ جـ أ ء)

٥) في الشكل المقابل:

س ع > س ص، س ل ⊥ ع ص

برهن أن ق (∠ ل س ع) > ق (∠ ل س ص)

٦) في الشكل المقابل:

أ ب جـ ء شكل رباعي فيه أ ب = أ ء = ٥ سم

ب جـ = ٢ سم، ء جـ = ٤سم.

برهن أن ق (∠ أ ب جـ) > ق (∠ أ ء جـ)

٧) في الشكل المقابل:

ق (∠ ء ب جـ) = ١٤٠°

ق (∠ هـ جـ ب) = ١٢٠°

برهن أن جـ ب > أ ب

٨) في الشكل المقابل:

أ ب = أ جـ

ق (∠ أ ب جـ) = ٦٥°

ق (∠ أ جـ ء) = ٢٠°

برهن أن أ ب > أ ء

٩) في الشكل المقابل:

ق (∠ ب) = ٩٠°

برهن أن أ جـ > ء جـ

١٠) في الشكل المقابل:

أ جـ > ء جـ، ق (∠ جـ أ ء) = ق (∠ ب أ ء)

أ هـ = أ جـ

برهن أن:

أ) ء هـ = ء جـ

ب) ق (∠ ب هـ ء) > ق (∠ أ ء جـ)

جـ) ب ء > ء جـ

١) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع، هـ نقطة داخله ق ( $∠$ هـ جـ ب) > ق ( $∠$ هـ ب جـ)

أولاً: برهن أن: ق ( $∠$ أ ب هـ) > ق ( $∠$ أ جـ هـ)

ثانياً: ق ( $∠$ أ) > ق ( $∠$ أ ب هـ) > ق ( $∠$ أ جـ هـ)

ق ( $∠$ أ ب جـ) > ق ( $∠$ أ جـ ب)

برهن أن : ق ( $∠$ أ ب ء) > ق ( $∠$ أ جـ ء)

برهن أن ق ( $∠$ ب أ ء) < ق ( $∠$ جـ أ ء)

س ع > س ص، س ل $⊥$ ع ص

برهن أن ق ( $∠$ ل س ع) > ق ( $∠$ ل س ص)

برهن أن ق ( $∠$ أ ب جـ) > ق ( $∠$ أ ء جـ)

ق ( $∠$ ء ب جـ) = ١٤٠°

ق ( $∠$ هـ جـ ب) = ١٢٠°

ق ( $∠$ أ ب جـ) = ٦٥°

ق ( $∠$ أ جـ ء) = ٢٠°

ق ( $∠$ ب) = ٩٠°

أ جـ > ء جـ، ق ( $∠$ جـ أ ء) = ق ( $∠$ ب أ ء)

ب) ق ( $∠$ ب هـ ء) > ق ( $∠$ أ ء جـ)