الدرس الأول: الضرب المتكرر في ن

١) احسب كلاً مما يأتي مع وضع الناتج في أبسط صورة:

[أ] ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)^٤

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨١}}$

[ب] ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$)^٤

$\frac{\mathrm{٨١}}{\mathrm{٢٥٦}}$

[جـ] ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^٤

= $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٨١}}$

[د] ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧}}$)^٣

= $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣٤٣}}$

[هـ] ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$)^٣ × ($-\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٢٧}}$)

$-\frac{\bcancel{\mathrm{٢٧}}}{{\bcancel{\mathrm{١٢٥}}}_{\mathrm{٥}}}\times -\frac{\bcancel{\mathrm{٢٥}}}{\bcancel{\mathrm{٢٧}}}= \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

[و] ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٣ × ($\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)^٢

$- \frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٨}}}\times \frac{{\bcancel{\mathrm{١٦}}}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٩}} = -\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$

[ز] ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$)^٢ × $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢٧}}$

= $\frac{\bcancel{\mathrm{٩}}}{{\bcancel{\mathrm{١٦}}}_{\mathrm{٢}}}\times \frac{\bcancel{\mathrm{٨}}}{{\bcancel{\mathrm{٢٧}}}^{\mathrm{٣}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

[ح] ($-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$)^٢ ÷ $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$

$\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٣٦}} ÷ \frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{{\bcancel{\mathrm{٢٥}}}_{\mathrm{٥}}}{{\bcancel{\mathrm{٣٦}}}_{\mathrm{٩}}} \times \frac{\bcancel{\mathrm{٤}}}{{\bcancel{\mathrm{١٥}}}_{\mathrm{٣}}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢٧}}$

[ط] ($\frac{\mathrm{٥}أ}{ب}$)^٢ × ($-\frac{\mathrm{٢}أ ب}{\mathrm{١٥}}$)

$=\frac{\mathrm{٢٥} {أ}^{\mathrm{٢}}}{{ب}^{\mathrm{٢}}} \times -\frac{\mathrm{٢}أ ب}{\mathrm{١٥}}=-\frac{\mathrm{٢٥}{أ}^{\mathrm{٣}}ب}{\mathrm{١٥}{ب}^{\mathrm{٢}}}=-\frac{\mathrm{٥}{أ}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}ب}$

[ي] ($-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^٣ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)^٣ ÷ ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$)^٢

[ك] [($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$)^٢ ÷ ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٤] × ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$)^٣

[ل] ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٣ ÷ [٨ × ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$]

٢) [أ] أوجد مساحة المربع الذي طول ضلعه $\frac{\mathrm{٢}س}{\mathrm{٧}}$

مساحة المربع = طول الضلع × طول الضلع

= $\frac{\mathrm{٢}س}{\mathrm{٧}}$ × $\frac{\mathrm{٢}س}{\mathrm{٧}}$

=$\frac{\mathrm{٤}{س}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤٩}}$

[ب] أوجد حجم المكعب الذي طول ضلعه $\frac{\mathrm{٤}ن}{\mathrm{٥}}$

حجم المكعب = طول الضلع × نفسه × نفسه

= $\frac{\mathrm{٤}ن}{\mathrm{٥}}$ × $\frac{\mathrm{٤}ن}{\mathrm{٥}}$ × $\frac{\mathrm{٤}ن}{\mathrm{٥}}$

= $\frac{\mathrm{٦٤}{ن}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{١٢٥}}$

٣) إذا كانت س = $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ع = $-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ فأوجد في أبسط صورة القيمة العددية لكل من:

[أ] س^٢ ص^٢ ع^٢

($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢ ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٢ ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)^٢ = $\frac{\bcancel{\mathrm{٩}}}{\bcancel{\mathrm{٤}}} \times \frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}\times \frac{\bcancel{\mathrm{١٦}}\bcancel{{}^{\mathrm{٤}}}}{\bcancel{\mathrm{٩}}}$ = ١

[ب] س^٢ ÷ ع^٢

($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢ ÷ ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)^٢ = $\frac{\bcancel{\mathrm{٤}}}{\bcancel{\mathrm{٩}}} \times \frac{\bcancel{\mathrm{٩}}}{{\bcancel{\mathrm{١٦}}}_{\mathrm{٤}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

[جـ] س^٢ - ص ع^٢

($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢ - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)^٢

= $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}} -\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}} \times \frac{\bcancel{{\mathrm{١٦}}^{\mathrm{٨}}}}{\mathrm{٩}}= \frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٨١} - \mathrm{٣٢}}{\mathrm{٣٦}}=\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٣٦}}$

[د] ٩س ص^٣ + ٤ص^٢ ع^٢

٩ × $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٣ + ٤ ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٢ ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)^٢

= ٩ × $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$ + $\bcancel{\mathrm{٤}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}$ × $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٩}}$

= $-\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{١٦}}$ + $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٩}}$

= $\frac{-\mathrm{٢٤٣} + \mathrm{٢٥٦}}{\mathrm{١٤٤}}=\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{١٤٤}}$

[هـ] $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} {ص}^{\mathrm{٢}} {ع}^{\mathrm{٢}}}{س + ص}$

س^٢ ص^٢ ع^٢ = ١

س + ص = $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١} +\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = -١

[و] $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ع^٣ - $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}$س^٢ ص - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$ ع^٢ ص^٣

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$× ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)^٣ -$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}$ ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٣ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$ × ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)^٢ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٣

= $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{-\mathrm{٦٤}}{\mathrm{٢٧}}$ - $\frac{\bcancel{\mathrm{٨}}}{\bcancel{\mathrm{٣}}} \times \frac{-{\bcancel{\mathrm{٢٧}}}^{\mathrm{٩}}}{\bcancel{\mathrm{٨}}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ - $\frac{\bcancel{\mathrm{٩}}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}\times \frac{{\bcancel{\mathrm{١٦}}}^{\bcancel{\mathrm{٨}}}}{\bcancel{\mathrm{٩}}}\times \frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٨}}}$

= $\frac{-\mathrm{١٢٨}}{\mathrm{٨١}}+\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}=\frac{-\mathrm{٢٥٦} +\mathrm{٧٢٩} - \mathrm{١٦٢}}{\mathrm{١٦٢}}=\frac{\mathrm{٧٢٩} - \mathrm{٤١٨}}{\mathrm{١٦٢}}=\frac{\mathrm{٣١١}}{\mathrm{١٦٢}}$