اختبار الوحدة الأولى (الأعداد الحقيقية)

أجب عن الأسئلة الآتية:

١) حوط الإجابة الصحيحة:

أ) $\frac{\mathrm{٦} {أ}^{\mathrm{٣}} {س}^{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٢} {أ}^{\mathrm{٣}} {س}^{\mathrm{٣}}}$ = ...... [٣ أ س، ٣أ^٥ س^٧، $\frac{\mathrm{٣}س}{أ}$، $\frac{\mathrm{٣}}{أ س}$]

= ٣ أ^-١ س = $\frac{\mathrm{٣}س}{أ}$

ب) $\frac{{(-\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} ص)}^{\mathrm{٣}}}{{(-\mathrm{٤} س {ص}^{\mathrm{٢}})}^{\mathrm{٢}}}$ = ...... [$\frac{{س}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}ص}$، $-\frac{{س}^{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٢}ص}$، $\frac{{س}^{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٢}{ص}^{\mathrm{٢}}}$، $\frac{{س}^{\mathrm{٤}}}{ص}$]

= $\frac{-\mathrm{٨} {س}^{\mathrm{٦}} {ص}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{١٦} {س}^{\mathrm{٢}} {ص}^{\mathrm{٤}}}$ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س^-٤ ص^-١ = $-\frac{{س}^{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٢}ص}$

جـ) أي من الآتي الأكبر؟ [٦,٣ × ^٥١٠، ٩,٨ × ^٤١٠، ٥,٢ × ^٥١٠]

٦,٣ × ^٥١٠

د) ${\left(\frac{{م}^{\mathrm{٢}}}{{ن}^{-\mathrm{٢}}}\right)}^{-\mathrm{١}}$ ${\left(\frac{\mathrm{٣}{م}^{-\mathrm{١}}}{{ن}^{-\mathrm{٢}}}\right)}^{-\mathrm{٢}}$ = ..... [$\frac{\mathrm{٩}{م}^{\mathrm{٢}}}{{ن}^{\mathrm{٧}}}$، $\frac{{م}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٩}{ن}^{\mathrm{٧}}}$، $\frac{م}{\mathrm{٩}ن}$، $\frac{\mathrm{٩}{م}^{\mathrm{٦}}}{ن}$]

= $\frac{{م}^{-\mathrm{٢}}}{{ن}^{\mathrm{٣}}}\times \frac{{م}^{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٩}{ن}^{\mathrm{٤}}}=\frac{{م}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٩}{ن}^{\mathrm{٧}}}$

هـ) $\frac{{(\mathrm{٢}أ {ب}^{-\mathrm{٢}})}^{\mathrm{صفر}}}{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{صفر}} {أ}^{-\mathrm{٢}} ب}$ = ..... [$\frac{{أ}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}{ب}^{\mathrm{٣}}}$، أ^٢$\frac{{أ}^{\mathrm{٢}}}{ب}$، ١، $\frac{{أ}^{\mathrm{٢}}}{ب}$]

$\frac{{أ}^{\mathrm{٢}}}{ب}$

و) ٢,٣٧ × ١٠^-٤ = ...... [٠,٠٠٢٣٧، ٠,٠٠٠٢٣٧، ٢٣٧٠٠، ٠,٠٠٠٠٢٣٧]

٠,٠٠٠٢٣٧

٢) أ) اختصر إلى أبسط صورة كلاً مما يلي:

١) $\frac{{س}^{\mathrm{٣}} ص}{س} {\left(\frac{{ص}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}س}\right)}^{\mathrm{٣}}$

$\frac{{س}^{\mathrm{٣}} ص}{س} \times \frac{{ص}^{\mathrm{٦}}}{\mathrm{٨}{س}^{\mathrm{٣}}}$ = $\frac{{ص}^{\mathrm{٧}} \bcancel{{س}^{\mathrm{٢}}}}{\mathrm{٨} \bcancel{{س}^{\mathrm{٤}}}}=\frac{{ص}^{\mathrm{٧}}}{\mathrm{٨}{س}^{\mathrm{٢}}}$

٢) $\frac{{أ}^{-\mathrm{١}}}{{ب}^{\mathrm{٢}}} {\left(\frac{{أ}^{-\mathrm{١}}}{\mathrm{٢}{ب}^{\mathrm{٢}}}\right)}^{-\mathrm{٢}}$

$\frac{{أ}^{-\mathrm{١}}}{{ب}^{\mathrm{٢}}} \times \frac{\mathrm{٤}{أ}^{\mathrm{٢}}}{{ب}^{-\mathrm{٤}}}=\frac{\mathrm{٤}أ}{{ب}^{-\mathrm{٢}}}$ = ٤ا ب^٢

ب) ضع العلامة المناسبة (< أو >):

١) ٦,٤ × ^٣١٠ $\square$ ٤,٦ × ^٣١٠

٦,٤ × ^٣١٠ > ٤,٦ × ^٣١٠

٢) ٦,٢ × ^٤١٠ $\square$ ٤,١ × ^٥١٠

٦,٢ × ^٤١٠ < ٤,١ × ^٥١٠

٣) ٠,٠٠٤١ $\square$ ٣,٢ × ^٤١٠

٠,٠٠٤١ < ٣,٢ × ^٤١٠

٤) ٤٣٧٠ $\square$ ٣,٤١ × ^٤١٠

٤٣٧٠ < ٣,٤١ × ^٤١٠

٥) ٢,١٠ × ١٠^-٥ $\square$ ١,٨٢ × ١٠^-٥

٢,١٠ × ١٠^-٥ > ١,٨٢ × ١٠^-٥

٦) ٩,١ × ١٠^-٤ $\square$ ١,٢ × ١٠^-٥

٩,١ × ١٠^-٤ > ١,٢ × ١٠^-٥

٧) ٦,٩٢٠ × ^٥١٠ $\square$ ٩٦٢٣٠

٦,٩٢٠ × ^٥١٠ > ٩٦٢٣٠

٨) ٣,٦٩ × ١٠^-٤ $\square$ ٠,٠٠٠٠٦٢٣

٣,٦٩ × ١٠^-٤ > ٠,٠٠٠٠٦٢٣

٣) أكمل:

أ) المعكوس الجمعي للعدد النسبي ($\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$)^٢ هو .....

($\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$)^٢ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢٥}}$ المعكوس الجمعي -$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢٥}}$

ب) المعكوس الضربي للعدد النسبي $\sqrt{\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٥},\mathrm{٢}}}$ = ......

$\sqrt{\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٥},\mathrm{٢}}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}$ $\Leftarrow$المعكوس الضربي $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جـ) ($\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$)^٧ ÷ ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$)^٥ = ..... في أبسط صورة.

- ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$)^٧ ÷ ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$)^٥ = - ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$)^٢ = -$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤٩}}$

د) مجموعة حل المعادلة: -٢س + ١ = -٣ في ص هو .....

-٢س + ١ = -٣

-٢س = -٣ -١

-٢س = -٤ نقسم على -٢

س = ٢

هـ) ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٢ - ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٢ = ......

$-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$ $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$

و) $\sqrt{{(-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}})}^{\mathrm{٢}}}$ = .....

$-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

٤) أ ) إذا كان طول ضلع مستطيل يساوي ضعف عرضه وكانت مساحة المستطيل تساوي ٢٤,٥ سم^٢ احسب كلاً من الطول والعرض.

نفرض أن العرض س فيكون الطول ٢س

مساحة المستطيل = الطول × العرض

٢س × س = ٢٤,٥

٢س^٢ = ٢٤,٥ نقسم على ٢

س^٢ = $\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٤}}$

س = $\sqrt{\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٤}}}$=$\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$ = ٣,٥

العرض = ٣,٥، الطول = ٧

ب) إذا كانت $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ مساحة مربع تساوي $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٦٤}}\mathrm{١}$ م^٢، فاحسب طول ضلعه.

نفرض أن المساحة س

فيكون س = $\frac{\mathrm{٧٥}}{\mathrm{٦٤}}$

س = $\frac{\mathrm{٧٥}}{\mathrm{٦٤}}$ × $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{١٦}}$ م^٢

طول الضلع المربع = $\sqrt{\mathrm{المساحة}}$ = $\sqrt{\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{١٦}}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$ م.

٥) أ) إذا كان $\frac{م}{ن}$ عدداً نس بياً، $\frac{{م}^{\mathrm{٢}}}{{ن}^{\mathrm{٢}}}$ = ٠,١٦ فأوجد قيمة ($\frac{م}{ن}$)^٢

$\frac{{م}^{\mathrm{٢}}}{{ن}^{\mathrm{٢}}}$ = $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{١٠٠}}\Leftarrow {\left(\frac{م}{ن}\right)}^{\mathrm{٢}} = \frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{١٠٠}}$

$\frac{م}{ن}$ = $\pm \sqrt{\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{١٠٠}}}=\pm \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١٠}}$

${\left(\frac{م}{ن}\right)}^{\mathrm{٣}}$ = ${(\pm \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١٠}})}^{\mathrm{٣}}$= $\pm \frac{\mathrm{٦٤}}{\mathrm{١٠٠٠}}$

ب) إذا كان أ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ب = ٢، جـ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ فأوجد القيمة العددية للمقدار: أ^٢ ب^٢ + ب^٢ جـ - ٨ أ ب جـ

= ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٣ × ٤ + $\bcancel{\mathrm{٤}}$ × $\frac{\mathrm{٣}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}$ - $\bcancel{\mathrm{٨}}$ × $-\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$ × ٢ × $\frac{\mathrm{٣}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}$

= $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ + ٣ + ٦ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٨}$

٦) أ) حل المعادلة الآتية: $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$س - ٤ = ١١ حيث س $\in$ ن

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$س = ١١ + ٤

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$س = ١٥

س = ${\bcancel{\mathrm{١٥}}}^{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{٦}}{\bcancel{\mathrm{٥}}}$

س = ١٨

م. ح. {١٨}

ب) أوجد القيمة العددية للمقدار: ١٦س ÷ ٤ص + ٤ ص س عندما س = ٩، ص = ٦

(١٦ × ٩) ÷ (٤ × ٦) + (٤ × ٦ × ٩)

١٤٤ ÷ ٦٤ + ٢١٦

٦ + ٢١٦ = ٢٢٢

جـ) أوجد مجموعة الحل للمتباينة س^٢ - ٧ > ٦ إذا كانت مجموعة التعويض هي {٢، ٤، ٦، ٨، ١٠}

عند س = ٢ يكون ٤ - ٧ = -٣ $\ngtr$ ٦ إذاً ٢ لا تحقق المتباينة

عند س = ٤ يكون ١٦ - ٧ = ٩ > ٦ إذاً ٤ تحقق المتباينة

عند س = ٦ يكون ٣٦ - ٧ = ٢٩ > ٦ إذاً ٦ تحقق المتباينة

عند س = ٨ يكون ٦٤ - ٧ = ٥٧ > ٦ إذاً ٨ تحقق المتباينة

عند س = ١٠ يكون ١٠٠ - ٧ = ٩٣ > ٦ إذاً ١٠ تحقق المتباينة

م. ح = {٤، ٦، ٨، ١٠}

٧) أ) حل كلاً من المتباينات الآتية:

١) ٩س + ١ $⩽$ ٤ (٢س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$)، س $\in$ ص ومثل مجموعة الحل على خط الأعداد.

٩س + ١ $⩽$ ٤ (٢س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$)

٩س - ٨س $⩽$ ١ - ١

س $⩽$ ٠

م. ح = {٠، -١، -٢، -٣، ......}

٢) ١ - (٤ أ - ١) > ٢ (أ - ٣)، أ $\in$ ن

١ - ٤أ + ١ > ٢أ - ٦

٢ - ٤أ > ٢أ - ٦

-٤أ - ٢أ > - ٦ - ٢

-٦ أ > - ٨ نقسم على -٦

$\frac{-\mathrm{٦}}{-\mathrm{٦}}$أ > $\frac{-\mathrm{٨}}{-\mathrm{٦}}$

أ < $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$

ب) ثمن كيلو جرام من الموز يزيد عن ثمن كيلو جرام من العنب بمقدار جنيه إذا كان ثمن ٢ كيلو جرام من الموز. ٤ كيلو جرام من العنب يساوي ٢٠ جنيهاً. أوجد ثمن الكيلو جرام الواحد من كل نوع.

٢ (س + ١) + ٤س = ٢٠

٢س + ٢ + ٤س = ٢٠

٦س + ٢ = ٢٠

٦س = ٢٠ - ٢

٦س = ١٨

س = ٣

ثمن كيلو العنب = ٣ جنيه.

ثمن كيلو الموز = ٤ جنيه.