نماذج امتحانات الهندسة (النموذج الثاني)

[١] أكمل ما يأتي:

(١) يتشابه المضلعان إذا كانت الأضلاع المتناظرة ....، الزوايا المتناظرة ....

الأضلاع المتناظرة متناسبة، الزوايا المتناظرة متساوية.

(٢) معين مساحته ٢٤سم^٢ وطول أحد قطريه ٨ سم فإن طول القطر الآخر يساوي .... سم

٦سم.

(٣) إذا كان $△$ أ ب جـ فيه: (أ ب)^٢ = (أ جـ)^٢ - (ب جـ)^٢ فإن $△$ أ ب جـ يكون قائم الزاوية في ....

في ب

(٤) الأطوال ٦سم، ٨سم، ١١سم تصلح أن تكون أضلاع مثلث ..... الزاوية.

مثلث منفرج الزاوية.

(٥) مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ طول القاعدة × ......

الارتفاع.

[ ٢] اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

(١) شبه منحرف طولا قاعدتيه المتوازيين ٦سم، ٨سم فإن قاعدته المتوسطة طولها بالسم =

أ) ٤٨

ب) ٢٤

جـ) ١٤

ء) ٧

(٢) مضلعان متشابهان النسبة بين طولي ضلعين متناظرين فيهما ١ : ٣ فإذا كان محيط المضلع الأصغر ١٥ سم فإن محيط المضلع الأكبر = .... سم

أ) ٣٠

ب) ٤٥

جـ) ٦٠

ء) ٧٥

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٥}}{س}$

س = ٣ × ١٥ = ٤٥

(٣) مثلث مساحته ٢٤ سم^٢ وارتفاعه ٨سم فإن قاعدته بالسم = ......

أ) ١٦

ب) ٦

جـ) ٣

ء) ٢

القاعدة = $\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢٤}}{\mathrm{٨}}$ = ٦

(٤) $△$ أ ب جـ قائم الزاوية في ب، $\overline{ب ء}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ فإن مسقط $\overline{ب ء}$ على $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ هو:

أ) {أ}

ب) {ب}

جـ) {جـ}

ء) {ء}

(٥) مربع محيطه ٢٠سم تكون مساحته بالسم^٢ = ....

أ) ٢٠

ب) ٢٥

جـ) ٥٠

ء) ١٠٠

(٦) عدد المثلثات في الشكل المقابل = .....

أ) ٣

ب) ٤

جـ) ٥

ء) ٦

[٣] في الشكل المقابل: $\overline{أ و}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{جـ} ب}$، $\overline{ب \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، أ جـ = ١٠سم، ب جـ = ٧سم، أ و = ٥سم. اوجد:

أولاً: طول $\overline{ب \mathrm{هـ}}$

ب هـ = الارتفاع

الارتفاع = $\frac{\mathrm{٢} \mathrm{المساحة}}{\mathrm{القاعدة}}$ = $\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٥},\mathrm{١٧}}{\mathrm{١٠}}$ = ٣,٥ سم.

ثانياً: مـ ($△$ أ ب جـ)

مـ ($△$ أ ب جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ القاعدة × الارتفاع

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٧ × ٥

= ١٧,٥سم^٢

[٤] (أ) ا ب جـ ء متوازي أضلاع فيه أ ب = ٨سم، أ جـ = ٢٠ سم، ب ء = ١٢ سم أثبت أن ق ($\angle$ أ ب ء) = ٩٠° ثم أوجد مساحة متوازي الأضلاع أ ب جـ ء.

• (أ ب)^٢ = ٦٤

(‌أ م)^٢ = ١٠٠، (ب م)^٢ = ٣٦

(أ ب)^٢ + (ب م)^٢ = ١٠٠ (أ م)^٢

$\therefore$$△$ أ ب م قائم الزاوية في أ ب م

• مـ $▱$ = طول القاعدة × الارتفاع

= ٨ × ١٢

= ٩٦

(ب) في الشكل المقابل: $△$ أ ب جـ فيه ء منتصف $\overline{أ ب}$، هـ منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

برهن أن:

أولاً: مساحة $△$ ء ب جـ = مساحة $△$ هـ ب جـ

$\because$ ء منتصف أ ب

$\therefore$ جـ ء متوسط

$\therefore$ $△$ ء ب جـ = مساحة $△$ ء جـ أ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مـ $△$ ا ب جـ (١)

$\because$ هـ منتصف أ جـ

$\therefore$ ب هـ متوسط

$\therefore$ $△$ أ ب هـ = مساحة $△$ ب هـ جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مـ $△$ ا ب جـ (٢)

من ١) و٢) مساحة $△$ ء ب جـ = مساحة $△$ هـ ب جـ

ثانياً: $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$△$ ء ب جـ = مساحة $△$ هـ ب جـ

مشتركان في قاعدة واحدة هي ب جـ

$\therefore$ $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

[٥] (أ) في الشكل المقابل: $△$ ء ب أ $~$ $△$ أ ب جـ = ٩٠°

أثبت أن: $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ $\perp$ $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$.

وإذا كان: أ ب = ٨سم، أ جـ = ٦سم أوجد طول $\overline{ب ء}$.

(ب جـ)^٢ = ٦٤ + ٣٦ = ١٠٠

ب جـ = ١٠سم.

$\frac{ء ب}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{ب أ}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{أ ء}{\mathrm{جـ} أ}$

$\frac{ء ب}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}=\frac{‌أ ء}{\mathrm{٦}}$

ب ء = $\frac{\mathrm{٦} \times \mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}$ = ٤,٨ سم.

(ب) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، فإذا كان أ ء = ٢٤ سم، أ ب = ٢٦ سم، أ جـ = ٣٠ سم.

أوجد ب جـ

(ب ء)^٢ = (٢٦)^٢ - (٢٤)^٢ = ١٠٠

ب ء = ١٠سم.

(جـ ء)^٢ = (٣٠)^٢ - (٢٤)^٢ = ٣٢٤

جـ ء = ١٨سم.

$\because$ ب جـ = ١٠ + ١٨ = ٢٨سم.

واحسب مساحة $△$ أ ب جـ.

مساحة $△$ أ ب جـ. = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٢٨ × ٢٤

= ١٤ × ٢٤

= ٣٣٦ سم^٢