تمارين عامة على الوحدة الخامسة

١) حدد نوع الزاوية التي لها أكبر قياس في أ ب جـ، حيث

أ) أ ب = ٩، ب جـ = ١٠، أ جـ = ١٢

(أ جـ)^٢ = (١٢)^٢ = ١٤٤

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = (٩)^٢ + (١٠)^٢ = ٨١ + ١٠٠ = ١٨١

(أ جـ)^٢ < (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

إذا الزاوية ب زاوية حادة إذاً المثلث أ ب جـ حاد الزوايا.

ب) أ ب = ٥، ب جـ = ١٠، أ جـ = ١٣

(أ جـ)^٢ = (١٣)^٢ = ١٦٩

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = (٥)^٢ + (١٠)^٢ = ٢٥ + ١٠٠ = ١٢٥

(أ جـ)^٢ > (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

إذا الزاوية ب زاوية منفرجة إذاً المثلث أ ب جـ منفرج الزاوية.

جـ) أ ب = ٧، ب جـ = ١٦، أ جـ = ١٤

(ب جـ)^٢ = (١٦)^٢ = ٢٥٦

(أ ب)^٢ + (‌أ جـ)^٢ = (٧)^٢ + (١٤)^٢ = ٤٩ + ١٩٦ = ٢٤٥

(ب جـ)^٢ > (أ ب)^٢ + (أ جـ)^٢

إذا الزاوية أ زاوية منفرجة إذاً المثلث أ ب جـ منفرج الزاوية.

٢) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شكل رباعي في أ ب = ٨سم، ب جـ = ٩سم، جـ ء = ١٢ سم، أ ء = ١٧سم، $\overline{ءب}$ $\perp$ $\overline{أب}$

أ) أوجد طول مسقط $\overline{أء}$ على $\overleftrightarrow{بء}$

$\overline{أب}$ $\perp$ $\overline{أ ء}$

بما أن ق ($\angle$ أ ب ء) = ٩٠°

إذاً ب ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٧}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٨}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٥ سم.

ب) بين نوع $△$ ب جـ ء بالنسبة لزواياه.

(ب ء)^٢ = (١٥)^٢ = ٢٢٥

(ب جـ)^٢ + (‌جـ ء)^٢ = (٩)^٢ + (١٢)^٢ = ٨١ + ١٤٤ = ٢٢٥

(ب جـ)^٢ = (أ ب)^٢ + (أ جـ)^٢

إذا الزاوية جـ زاوية قائمة إذاً المثلث ب جـ ء قائم الزاوية.

٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء متوازي أضلاع فيه ب جـ = ١٥سم، جـ ء = ٨سم، أ جـ = ١٩سم. أثبت أن: $\angle$ أ ب جـ منفرجة.

بما أن أ ب جـ ء متوازي أضلاع

فإن أ ب = جـ ء = ٨سم.

في المثلث أ ب جـ

(أ جـ)^٢ = (١٩)^٢ = ٣٦١

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = (٨)^٢ + (١٥)^٢ = ٦٤ + ٢٢٥ = ٢٨٩

(أ جـ)^٢ > (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

إذا الزاوية ب زاوية منفرجة إذاً المثلث أ ب جـ منفرج الزاوية.

٤) في المثلث أ ب جـ: (أ ب)^٢ > (أ جـ)^٢ + (ب جـ)^٢، أ ب = ١٥سم، أ جـ = ١٣ سم، رسم $\overline{أء}$ $\overleftrightarrow{ب\mathrm{جـ}}$ يقطعه في ء وكان أ ء = ١٢ سم، أوجد طول $\overline{ب\mathrm{جـ}}$

البرهان:

في المثلث أ ب ء

ق ($\angle$ أ ء ب) = ٩٠°

ب ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٥}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٩سم.

في المثلث أ جـ ء

ق ($\angle$ أ ء جـ) = ٩٠°

جـ ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٣}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥سم.

٥) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = ١٦ سم، ب جـ = ٢٤سم، هـ $\in$ $\overline{\mathrm{جـ}ء}$. بحيث ء هـ = ٩سم، بين نوع $△$ ب و هـ بالنسبة لزواياه.

البرهان: بما أن أ ب جـ ء مستطيل

أ ء = ب جـ = ٢٤سم.

أ ب = جـ ء = ١٦ سم.

و منتصف أ ء إذاً أ و = و ء = ١٢

هـ ء = ٩ سم، إذاً هـ جـ = ١٦ - ٩ = ٧ سم.

بما أن ق ($\angle$ ب أ ء) = ٩٠°

ب و = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٦}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٠سم.

ق ($\angle$ و ء هـ) = ٩٠°

و هـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٩}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٧ سم.

ق ($\angle$ ب ء هـ) = ٩٠°

ب هـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{٢٤}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٧}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٥سم.

في المثلث ب و هـ

(ب هـ)^٢ = (٢٥)^٢ = ٦٢٥

(ب ء)^٢ + (و هـ)^٢ = (٢٠)^٢ + (١٥)^٢ = ٤٠٠ + ٢٢٥ = ٦٢٥

(ب هـ)^٢ = (ب ء)^٢ + (و هـ)^٢

ق ($\angle$ ب ء هـ) = ٩٠°

في المثلث ب و هـ مثلث قائم الزاوية.

٦) في الشكل المقابل: في $△$ أ ب جـ: ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٩٠°، $\overline{أء}$ $\perp$ $\overline{ب\mathrm{جـ}}$، أ ب = ٨سم، أ جـ = ٦سم، أوجد كلاً من ب ء، جـ ء، أ ء

البرهان: ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٩٠°

إذاً ب جـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{٨}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٦}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٠سم.

(أ ب)^٢ = ب ء × ب جـ

(٨)^٢ = ب ء × ١٠

ب ء = $\frac{\mathrm{٦٤}}{\mathrm{١٠}}$ = ٦,٤

إذاً جـ ء = ب جـ - ب ء = ١٠ - ٦,٤ = ٣,٦ سم.

أ ء = $\frac{أ ب \times أ \mathrm{جـ}}{ب \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}$ = $\frac{\mathrm{٤٨}}{\mathrm{١٠}}$ = ٤,٨سم

٧) أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = ٣٠سم، أ ء = ٤٠سم، $\underset{ء\mathrm{هـ}}{\leftarrow }\perp$ $\overline{أ\mathrm{جـ}}$ في و، ويقطع $\overline{ب\mathrm{جـ}}$ في هـ أوجد طول كل من $\overline{أ و}$، $\overline{ء و}$، $\overline{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}$

بما أن أ ب جـ ء مستطيل

ء جـ = أ ب = ٢٠ سم.

ق ($\angle$ أ ء جـ) = ٩٠°

أ جـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{٤٠}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٣٠}\right)}^{\mathrm{٢}} }$ = ٥٠سم.

$\underset{ء و}{\leftarrow }\perp$ $\overline{أ\mathrm{جـ}}$

(أ ء)^٢ = أ و × أ جـ

$\therefore$ (٤٠)^٢ = أ و × ٥٠

$\therefore$ ١٦٠٠ = أ و × ٥٠

أ و = $\frac{\mathrm{١٦٠٠}}{\mathrm{٥٠}}$ = ٣٢ سم.

ء و = $\frac{أ ء \times ء \mathrm{جـ}}{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٤٠} \times \mathrm{٣٠}}{\mathrm{٥٠}}$ = ٢٤ سم.

ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٩٠°، $\overline{\mathrm{جـ} ء} \perp \overline{ء \mathrm{هـ}}$

(ء جـ)^٢ = ء و × ء هـ

(٣٠)^٢ = ٢٤ × ء هـ

٩٠٠ = ٢٤ ء هـ

ء هـ = $\frac{\mathrm{٩٠٠}}{\mathrm{٢٤}}$ = ٣٧,٥ سم.

إذاً جـ هـ = $\sqrt{{(\mathrm{٥},\mathrm{٣٧})}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٣٠}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٢,٥ سم.