نماذج امتحانات الهندسة (النموذج الأول)

[١] أكمل ما يأتي:

(١) في الشكل المقابل: أ ب × ..... = ب جـ × أ ء

أ ب × أ جـ = ب جـ × أ ء

(٢) في $△$ أ ب جـ إذا كان (أ جـ)^٢ + (جـ ب)^٢ = (‌أ ب)^٢ فإن ق ($\angle$ ....) = ٩٠°

ق ($\angle$ جـ) = ٩٠°

(٣) إذا كانت النقطة أ $\in$ للمستقيم ل فإن مسقط أ على المستقيم ل هو .....

أ نفسها.

(٤) مساحة الدائرة التي طول قطرها ١٤ سم = ..... سم^٢

$\mathrm{\pi }$ نق^٢ = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$ × (٧)^٢ = ١٥٤ سم^٢

(٥) شبه منحرف طولا قاعدتيه ٨سم، ١٠سم وارتفاعه ٥ سم. تكون مساحته = .... سم^٢

مساحة شبه المنحرف = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (٨ + ١٠) × ٥

= ٩ × ٥ = ٤٥ سم^٢

[٢] اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

(١) في أ ب جـ إذا كان (أ ب)^٢ > (ب جـ)^٢ + (‌أ جـ)^٢ فإن زاوية جـ تكون:

أ) حادة

ب) قائمة

جـ) منفرجة

ء) مستقيمة

(٢) معين طولا قطريه ٦سم، ١٠ سم، تكون مساحته بالسم^٢ =

أ) ٦٠

ب) ٣٠

جـ) ١٥

ء) ١٠

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٦ × ١٠ = ٣٠ سم^٢

(٣) مضلعان متشابهان النسبة بين طولي ضلعين متناظرين فيهما ٣: ٥ تكون النسبة بين محيطيهما هي:

أ) ٢٥

ب) ٥ : ٣

جـ) ٣ : ٥

ء) ١ : ٢

(٤) شبه منحرف مساحته ١٠٠ سم^٢ وارتفاعه ٥سم تكون طول قاعدته المتوسطة بالسنتمترات تساوي:

أ) ٢٠

ب) ٣٠

جـ) ٤٠

ء) ٥٠

(٥) أ ب جـ ء متوازي أضلاع، فيه ق ($\angle$ أ) = ٧٠° فإن ق ($\angle$ ب) = ....°

أ) ٧٠

ب) ١١٠

جـ) ١٨٠

ء) ٣٦٠

١٨٠ - ٧٠ = ١١٠

(٦) قياس إحدى زوايا الخماسي المنتظم = .....°

أ) ٩٠

ب) ١٠٨

جـ) ١٢٠

ء) ٥٤٠

$\frac{(\mathrm{٥} - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠}}{\mathrm{٥}}$ = ١٠٨°

[٣] (أ) مثلثان متشابهان أطوال أضلاع أحدهما ٣سم، ٤سم، ٥سم، ومحيط الآخر ٣٦سم. أوجد أطوال أضلاع المثلث الآخر.

محيط المضلع الأول = ١٢سم.

$\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المضلع} \mathrm{الأول}}{\mathrm{محيط} \mathrm{المضلع} \mathrm{الثاني}}$ = إحدى النسب

$\frac{\bcancel{{\mathrm{١٢}}^{\mathrm{١}}}}{\bcancel{{\mathrm{٣٦}}^{\mathrm{٣}}}}=\frac{\mathrm{٣}}{أ ب}=\frac{\mathrm{٤}}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{جـ} أ}$

أ ب = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{٣}}{\mathrm{١}}$ = ٩سم.

ب جـ = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{٤}}{\mathrm{١}}$ = ١٢سم.

جـ أ = $\frac{\mathrm{٥} \times \mathrm{٣}}{\mathrm{١}}$ = ١٥سم,

(ب) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء متوازي أضلاع، س $\in$ $\overline{أ ب}$، ص $\in$ $\overline{أ ء}$ بحيث كانت مـ ($△$ جـ ب س) = مـ ($△$ جـ ص ء) أثبت أن: $\overleftrightarrow{س ص}$ // $\overleftrightarrow{ب ء}$.

$\because$ الشكل أ ب جـ ء $▱$

$\because$ س ب // ء جـ

$\therefore$ مـ ($△$ س ب ء) = مـ ($△$ س ب جـ) (١)

$\because$ ص ب // ب جـ

$\therefore$ مـ ($△$ ص ء ب) = مـ ($△$ ص ء جـ) (٢)

$\because$ مـ ($△$ جـ ب س) = مـ ($△$ جـ ص ء)

$\therefore$ مـ ($△$ س ب ء) = مـ ($△$ ص ء ب)

مشتركان في ب ء

$\therefore$ س ص // ب ء

[٤] (أ) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، ب ء = ٢سم، جـ ء = ٨سم، أ ء = ٤سم. أثبت أن: ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٩٠°

(أ ب)^٢ = ٤ + ١٢ = ٢٠

أ ب = $\sqrt{\mathrm{٢٠}}$

(أ جـ)^٢ = ١٦ + ٦٤ = ٨٠

أ جـ = $\sqrt{\mathrm{٨٠}}$

(أ ب)^٢ = ٢٠ / (أ جـ)^٢ = ٨٠

(ب جـ)^٢ = ١٠٠

$\therefore$ (ب جـ)^٢ = (أ ب)^٢ + (أ جـ)^٢

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ٩٠°

(ب) أ ب جـ ء متوازي أضلاع فيه أ ب = ١٨سم، ء هـ = ١٥سم، ب جـ = ١٢سم، رسمت $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ $\perp$$\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء و}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$. احسب مساحة $▱$ أ ب جـ ء وطول $\overline{ء و}$.

مساحة $▱$ أ ب جـ ء = ١٢ × ١٥ = ١٨٠ سم^٢

الارتفاع = $\frac{\mathrm{١٨٠}}{\mathrm{١٨}}$ = ١٠سم.

[٥] (أ) أ ب جـ مثلث فيه ق ($\angle$ أ) = ٥٠°، ق ($\angle$ ب) = ٦٠° رتب أطوال أضلاع المثلث ترتيباً تنازلياً.

ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠ - (٥٠ + ٦٠) = ٧٠°

ق ($\angle$ جـ) > ق ($\angle$ ب) > ق ($\angle$ أ)

أ ب > أ جـ > ب جـ

(ب) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شكل رباعي فيه $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ $\cap$ $\overline{ب ء}$ = {هـ} أثبت أن: مساحة $△$ أ ب هـ = مساحة $△$ ء جـ هـ

$\because$ أ ء // ب جـ

$\therefore$ مـ ($△$ أ ء ب) = مـ ($△$ أ ء جـ)

لأنهم مشتركان $\overline{أ ء}$

بحذف مـ ($△$ أ هـ ء)

$\therefore$ مساحة $△$ أ ب هـ = مساحة $△$ ء جـ هـ