الدرس الأول: التشابه

أولاً:

١) بين أياً من أزواج المضلعات التالية متشابهة ولماذا؟ اكتب المضلعات المتشابهة بترتيب الرؤوس المتناظرة.

أ)

$\frac{أ ب}{\mathrm{هـ} و}$ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١}$

$\frac{ب \mathrm{جـ}}{و س}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$

$\frac{أ ب}{\mathrm{هـ} و}$ $\ne$$\frac{ب \mathrm{جـ}}{و س}$ الشرط لم يتحقق إذاً الشكلين غير متشابهين.

ب)

الشكل الأول يشابه الشكل الثاني لأن الزوايا متناظرة

جـ)

نسب الأضلاع

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}= \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$

$\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٢٠}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$ نسب الأضلاع متناسبة.

والزوايا متناظرة متساوية إذاً الشكلان متشابهان.

د)

نسب الأضلاع

$\frac{\mathrm{٧٠}}{\mathrm{٥٦}}=\frac{\mathrm{٣٥}}{\mathrm{٢٨}}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$

$\frac{\mathrm{٥٠}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$

$\frac{\mathrm{١٢٠}}{\mathrm{٩٦}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$

الأضلاع متناسبة إذا الشكلان متشابهان.

٢) باستخدام المعطيات بالشكل المقابل

برهن أن:

أ) $△$ ء هـ و $~$ $△$ أ ب جـ

$\frac{أ ب}{ء \mathrm{هـ}} = \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{أ \mathrm{جـ}}{ء و}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{ب \mathrm{جـ}}{\mathrm{هـ} و}$ = $\frac{\mathrm{٥٠}}{\mathrm{٧٥}}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{١٥}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

ب) $\frac{\mathrm{محيط} △ ء \mathrm{هـ} و}{\mathrm{محيط} △ أ ب \mathrm{جـ}}$ = نسبة التكبير

$\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٢٥}}=\frac{\mathrm{١٥٠}}{\mathrm{٢٢٥}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{محيط} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}=\frac{\mathrm{أحد} \mathrm{ضلعي} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{نظيره} \mathrm{في} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}$ = نسبة التكبير

ثانياً:

١) في كل من الأشكال الآتية: إذا كانت أزواج المثلثات متشابهة فأوجد قيمة س.

أ)

$\frac{س}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٨}}$

س = $\frac{\mathrm{٦} \times \mathrm{١٢}}{\mathrm{٨}}$ = ٩

ب)

$\frac{\mathrm{٥}}{س}=\frac{\bcancel{\mathrm{٨}}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}$

$\frac{\mathrm{٥}}{س}$ = ٢

٢س = ٥

س = ٢,٥

جـ)

$\frac{س}{\mathrm{٢٢}}=\frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{٣٤} }$

س = $\frac{\mathrm{٢٢} \times \mathrm{١٤}}{\mathrm{٣٤}}$ = ٨,٥

د)

$\frac{س}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٦}}$

س = $\frac{\mathrm{٩} \times \mathrm{٨}}{\mathrm{٦}}$ = ١٢

هـ)

$\frac{س+ \mathrm{٤}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٥}}$

س + ٤ = ١٢

س = ١٢ - ٤ = ٨

ز)

$\frac{س}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}$

٣س = ١٦

س = $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}$ = ٥,٣

و)

$\frac{س}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٥}}$

س = ٩

٢) في كل من الأشكال التالية أوجد القيمة العددية لكل من س، ص (الأطوال مقدرة بالسنتمترات)

أ)

$\frac{س}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{٣}}$

٣س = ٥٦

س ≈ ١٨,٧

ب)

$\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٥}}=\frac{س+ \mathrm{٨}}{\mathrm{٨}}$

٥س + ٤٠ = ٥٦

٥س = ١٦

س = ٣,٢

جـ)

$\frac{س +\mathrm{١}+\mathrm{٣}}{\mathrm{٣}}=\frac{س-\mathrm{١}+\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{س+ \mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}=\frac{س+\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٢س + ٨ = ٣س + ٣

س = ٥

٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء متوازي أضلاع، هـ $\in$ $\underset{ب أ}{\leftarrow }$

$\underset{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ $\cap$ $\overline{أ ء}$ = {و} فإذا كان ب جـ = هـ جـ = ١٠ سم أ ب = ٤سم، و ء = ٦سم ثم أوجد طول كل من: $\overline{\mathrm{هـ} ب}$، $\overline{\mathrm{هـ} أ}$، $\overline{و \mathrm{جـ}}$

• $\frac{\mathrm{هـ} ب}{أ \mathrm{هـ}}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{أ و}$

$\frac{\mathrm{٤} + أ \mathrm{هـ}}{أ \mathrm{هـ}}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{٤} + أ \mathrm{هـ}}{أ \mathrm{هـ}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

٨ + ٢أ هـ = ٥ أ هـ

٣أ هـ = ٨

أ هـ = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$

ب هـ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٦}$

• $\frac{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}{\mathrm{هـ} و}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{أ و}$

$\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{هـ} و}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٤}}$

هـ و = ٤

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ء = ١٢سم س $\in$ $\overline{أ ء}$ حيث أ س = ٤سم، $\overline{س ص}$ // $\overline{أ ب}$ ويقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في م، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ في ص حيث م س = ٣سم.

أ) برهن أن $△$ أ م س $~$ $△$ جـ

$\because$ الزوايا متطابقة $△$ أ م س $~$ $△$ جـ م ص

ب) أوجد محيط $△$ ص م جـ

$\frac{أ س}{ص \mathrm{جـ}}=\frac{س م}{م ص}$

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٣}}{م ص}$

م ص = ٦

$\frac{م \mathrm{جـ}}{\mathrm{٥}}=\frac{\bcancel{\mathrm{٨}}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}$

$\frac{م \mathrm{جـ}}{\mathrm{٥}}$ = ٢

م جـ = ١٠ سم.

أ م = $\sqrt{\mathrm{١٦} + \mathrm{٩}}=\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

محيطه ص م جـ = ١٠ + ٨ + ٦ = ٢٤

جـ) هل الشكل أ ب ص م $~$ الشكل جـ ء س م؟ ولماذا؟

الزوايا المتناظرة متطابقة (١)

$\frac{أ م}{م \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{م ص}{م س}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٣}}$ = ٢

$\frac{ب ص}{س ء}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٥) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب، فيه أ ب = ٣سم، ب جـ = ٤سم، $\overline{ب ء}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ برهن أن $△$ ب أ جـ $~$ $△$ ء أ ب ثم أوجد طول كل من $\overline{أ ء}$، $\overline{ء \mathrm{جـ}}$

$△$ ب أ جـ $~$ $△$ ء أ ب

$\frac{أ ء}{ب أ}=\frac{أ ب}{أ \mathrm{جـ}}$

$\frac{ء أ}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

ء أ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٥}}$ = ١,٨

ء جـ = ٥ - ١,٨ = ٣,٢

أ جـ = $\sqrt{\mathrm{٩} + \mathrm{١٦}}=\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

ب ء × أ جـ = ب أ × جـ ب

ب ء × ٥ = ٣ × ٤

ب ء = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٥}}$ = ٢,٤