نماذج امتحانات الجبر والاحتمال (النموذج الأول)

[١] أكمل ما يأتي:

(١) إذا كان ٢^س+٣ = ١ فإن س = .....

٢^س+٣ = ٢^صفر

س + ٣ = صفر

س = صفر - ٣

س = -٣

(٢) إذا كان س + ص = ٤، س - ص = ٢، فإن س^٢ - ص^٢ = ....

س^٢ - ص^٢ = (س + ص) (س - ص) = ٤ × ٢ = ٨

(٣) مجموعة حل المعادلة س^٢ - ١ = ٨ حيث س $\in$ ص₊ هي ....

س^٢ - ١ = ٨

س^٢ = ٨ + ١

س^٢ = ٩

س = $\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣

م. ح = {٣}

(٤) إذا كان ٢^س = ٣ فإن ٨^{- س} = .....

${\left({\mathrm{٢}}^{\mathrm{٣}}\right)}^{س} = \mathrm{٢٧}$

٨^س = ٢٧

٨^{- س} = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٧}}$

(٥) مجموعة حل المعادلة س^٢ - ٣ = ٠ في ح هي .....

س^٢ = ٣

س = $\pm$ $\sqrt{\mathrm{٣}}$

م. ح = {$\sqrt{\mathrm{٣}}$، -$\sqrt{\mathrm{٣}}$}

[٢] اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

(١) $\frac{{\mathrm{٥}}^{-\mathrm{٢}} \times \sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٥}}}$= ...... ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢٥}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٥}}$، ٢٥، ١٢٥)

$\frac{{\mathrm{٥}}^{-\mathrm{٢}} \times \sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٥}}}$ = $\frac{{\mathrm{٥}}^{-\mathrm{٢}} \times \bcancel{\sqrt{\mathrm{٥}}}}{\mathrm{٥}\bcancel{\sqrt{\mathrm{٥}}}}=\frac{{\mathrm{٥}}^{-\mathrm{٢}}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{١}}}$ = ٥^-٢-١ = ٥^-٣ = $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٣}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢٥}}$

(٢) ص - ص_- = ..... (ص_٠، ط، $\varnothing$، {٠})

ص = {.....، ٣، ٢، ١، ٠، -١، -٢، -٣، .....}

(٣) حجم مكعب طول حرفه ٣سم = ..... سم^٣ (٩، ١٢، ٢٧، ٨١)

حجم المكعب = (٣)^٣ = ٢٧

(٤) إذا كان المقدار الثلاثي س^٢ + ك س + ٣٦ مربع كامل فإن ك تساوي: ($\pm$٦، $\pm$٨، $\pm$١٢، $\pm$١٨)

ك س = $\pm$ ٢ × س × ٦

ك س = $\pm$ ١٢س

ك = $\pm$ ١٢

(٥) عند إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة وملاحظة الوجه العلوي فإن احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على ٣ يساوي: ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$)

ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦}

الاحتمال = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

(٦) إذا كان ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$)^س = $\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{١٢٥}}$ فإن س = ..... (-٥، -٣، ٣، ٥)

($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$)^س = $\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٣}}}$ = ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$)^٣ = ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$)^-٣

[٣] حلل كلاً من المقادير الآتية:

(أ) س^٢ + ٨س + ١٥

(س + ٣) (س + ٥)

(ب) ٢س^٢ + ٧س + ٣

الحد الأول ٢س × س

الحد الثالث ١ × ٣ أو ٣ × ١

(٢س + ١) (س + ٣)

(جـ) س^٣ - ١

(س - ١) (س^٢ + س + ١)

(ء) أ س - ٧أ + ٣س - ٢١

(أ س - ٧أ) (٣س - ٢١)

أ (س - ٧) + ٣ (س - ٧)

(س - ٧) (أ + ٣)

[٤] (أ) اختصر لأبسط صورة: $\frac{{\mathrm{٤}}^{ن} \times {\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}ن}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن}}$

$\frac{{\mathrm{٤}}^{ن} \times {\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}ن}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن}}$ = $\frac{{\left({\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\right)}^{ن} \times {(\mathrm{٢} \times \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}ن}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن}}= \frac{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن} \times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن}}=\frac{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن}}$ = ^٤٢^{ن -٤ن} × ^٢٣^ن-٢ن = ٢^صفر × ٣^صفر = ١ × ١ = ١

(ب) أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية حيث س $\in$ ح: س^٢ -٨س + ١٢ = ٠

(س - ٢) (س - ٦) = ٠

س = ٢، س = ٦

م. ح = {٢، ٦}

[٥] (أ) كي يحتوي على عدد من الكرات المتماثلة منها ٥ كرات بيضاء والباقي من اللون الأحمر، فإذا كان احتمال

احتمال سحب كرة بيضاء = ١ - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

احتمال سحب كرة بيضاء = $\frac{\mathrm{عدد} \mathrm{الكرات} \mathrm{البيضاء}}{\mathrm{العدد} \mathrm{الكل} \mathrm{للكرات}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{العدد} \mathrm{الكل} \mathrm{للكرات}}$

العدد الكل للكرات = ٣ × ٥ = ١٥

(ب) إذا كان ٣^س = ٢٧، ٤^س+ص = ١ فأوجد قيمتي س، ص

• ٣^س = ^٣٣

س = ٣

• ٤^س+ص = ١

٤^س+ص = ^٠٤

س + ص = ٠

٣ + ص = ٠

ص = -٣