الدرس الثامن: العمليات على الجذور التربيعية

١) اختر الإجابة الصحيحة من بين القوسين أمام كل عبارة:

أ) $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$ - $\sqrt{\mathrm{١٨}}$ - $\sqrt{\mathrm{٢}}$ = ...... ($\sqrt{\mathrm{٣٠}}$ أو $\sqrt{\mathrm{٢}}$ أو ٢ أو ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$)

$\sqrt{\mathrm{٥٠}}$ = $\sqrt{\mathrm{٢٥} \times \mathrm{٢}}$ = ٥$\sqrt{\mathrm{٢}}$

$\sqrt{\mathrm{١٨}}$ = $\sqrt{\mathrm{٩} \times \mathrm{٢}}$ = ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$

المقدار = ٥$\sqrt{\mathrm{٢}}$ - ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$ - ١ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ = $\sqrt{\mathrm{٢}}$

الجواب $\sqrt{\mathrm{٢}}$

ب) ($\sqrt{\mathrm{٧}}$ - $\sqrt{\mathrm{٥}}$) ($\sqrt{\mathrm{٧}}$ + $\sqrt{\mathrm{٥}}$) = ...... (٢ أو ١٢ أو ٢$\sqrt{\mathrm{٧}}$ أو -٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$)

٧ - ٥ = ٢

الجواب ٢

جـ) ($\sqrt{\mathrm{٨}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ = ...... ($\sqrt{\mathrm{١٠}}$ أو ١٠ أو ١٨ أو $\sqrt{\mathrm{١٨}}$)

$\sqrt{\mathrm{٨}}$ = $\sqrt{\mathrm{٤} \times \mathrm{٢}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$

(٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$ + ١$\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ = (٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ = ٩ × ٢ = ١٨

الجواب: ١٨

د) المعكوس الضربي للعدد $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٦}}$ هو ...... ($-\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٦}}$ أو ٦$\sqrt{\mathrm{٣}}$ أو ٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$ أو -٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$)

٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$

هـ) العدد التالي في النمط: $\sqrt{\mathrm{٣}}$، $\sqrt{\mathrm{١٢}}$، $\sqrt{\mathrm{٢٧}}$، $\sqrt{\mathrm{٤٨}}$ هو ($\sqrt{\mathrm{٥٠}}$ أو $\sqrt{\mathrm{٧٥}}$ أو $\sqrt{\mathrm{٦٠}}$ أو $\sqrt{\mathrm{٩٠}}$)

$\sqrt{\mathrm{٧٥}}$

٢) أكمل لتحصل على عبارة صحيحة:

أ) إذا كانت س = ٣ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$ فإن مرافقها ...... وحاصل ضربهما .....

مرافقها ٣ -$\sqrt{\mathrm{٢}}$

وحاصل ضربهما ٩-٢ = ٧

ب) المعكوس الضربي للعدد ($\sqrt{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$) في أبسط صورة هو ......

$\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}+\sqrt{\mathrm{٢}}}$ × $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٣} -\mathrm{٢}}$ = $\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}$

جـ) إذا كانت س^٢ = ٥ فإن (س + $\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢ = ....... أو .......

س = $\pm \sqrt{\mathrm{٥}}$،

• س = $\sqrt{\mathrm{٥}}$

($\sqrt{\mathrm{٥}}$ + $\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢

(٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢ = ٤ × ٥ = ٢٠

• س = - $\sqrt{\mathrm{٥}}$

(-$\sqrt{\mathrm{٥}}$ + $\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢ = صفر

٢٠ أو صفر

د) إذا كانت $\frac{\mathrm{١}}{س}$ = $\sqrt{\mathrm{٥}}$ - ٢ فإن قيمة س في ابسط صورة هي .....

س = $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٢}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٥}} + \mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٢}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٢}}{\mathrm{٥} - \mathrm{٤}}$

س = $\sqrt{\mathrm{٥}}$ + ٢

هـ) ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$ + $\sqrt{\mathrm{٨}}$ - $\sqrt{\mathrm{١٨}}$ = ......

٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$ = ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$

$\sqrt{\mathrm{٨}}$$\sqrt{\mathrm{٢} \times \mathrm{٤}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$

$\sqrt{\mathrm{١٨}}$$\sqrt{\mathrm{٢} \times \mathrm{٩}}$ = ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$

المقدار = $\bcancel{\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}}$ + ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$ $\bcancel{-\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$

٣) اختصر لأبسط صورة ٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$ + ٦$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}}$ - $\sqrt{\mathrm{١٢}}$ - ٥$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}}$

٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$

٦$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}}$ = $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٣}}$ $\sqrt{\mathrm{١} \times \mathrm{٣}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$

$\sqrt{\mathrm{١٢}}$ = $\sqrt{\mathrm{٣} \times \mathrm{٤}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$

$\bcancel{\mathrm{٥}}\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٥}}}}$ = $\sqrt{\mathrm{٥}}$

المقدار = ٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$ + $\bcancel{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}}}$ - $\bcancel{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}}}$ - $\mathrm{١}\sqrt{\mathrm{٥}}$ = $\sqrt{\mathrm{٥}}$

٤) إذا كانت س = $\frac{\mathrm{٤}}{\sqrt{\mathrm{٧}}-\sqrt{\mathrm{٣}}}$، ص = $\frac{\mathrm{٤}}{\sqrt{\mathrm{٧}}+\sqrt{\mathrm{٣}}}$ فأوجد قيمة س^٢ ص^٢

س ص = $\frac{\mathrm{٤}}{\sqrt{\mathrm{٧}}-\sqrt{\mathrm{٣}}}$ × $\frac{\mathrm{٤}}{\sqrt{\mathrm{٧}}+\sqrt{\mathrm{٣}}}$ = $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٧} - \mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٤}}$ = ٤

س^٢ ص^٢ = (س ص)^٢ = (٤)^٢ = ١٦

٥) إذا كان أ = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$، ب = $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}+\sqrt{\mathrm{٢}}}$ فأوجد قيمة أ^٢ - ب^٢ في أبسط صورة.

ب = $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}+\sqrt{\mathrm{٢}}}$ × $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٢}}=\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}$

أ^٢ - ب^٢ = (أ + ب) (أ - ب)

أ + ب = $\sqrt{\mathrm{٣}} \bcancel{+ \sqrt{\mathrm{٢}}}+\sqrt{\mathrm{٣}}\bcancel{-\sqrt{\mathrm{٢}} }= \mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}}$

أ - ب = $\bcancel{\sqrt{\mathrm{٣}}}+\sqrt{\mathrm{٢}}\bcancel{- \sqrt{\mathrm{٣}}}+\sqrt{\mathrm{٢}}=\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}$

أ^٢ - ب^٢ = $\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}} \times \mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}=\mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٦}}$

٦) إذا كانت س = $\sqrt{\mathrm{٥}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$، ص = $\sqrt{\mathrm{٥}}$ - $\sqrt{\mathrm{٢}}$

أوجد في أبسط صورة قيمة المقدار $\frac{س + ص}{س ص - \mathrm{١}}$

$\frac{س + ص}{س ص - \mathrm{١}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٥}}\bcancel{+\sqrt{\mathrm{٢}}}+\sqrt{\mathrm{٥}}\bcancel{-\sqrt{\mathrm{٢}}}}{(\sqrt{\mathrm{٥}}+\sqrt{\mathrm{٢}}) (\sqrt{\mathrm{٥}}-\sqrt{\mathrm{٢}})-\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٥} - \mathrm{٢}-\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٢}}=\sqrt{\mathrm{٥}}$

٧) إذا كانت س = $\sqrt{\mathrm{٧}}$ + $\sqrt{\mathrm{٥}}$، ص = $\frac{\mathrm{٢}}{س}$

أوجد قيمة المقدار $\frac{س + ص}{س ص}$ في أبسط صورة.

ص = $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٧}}+\sqrt{\mathrm{٥}}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٧}}-\sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٧}}-\sqrt{\mathrm{٥}}}=\frac{\mathrm{٢}(\sqrt{\mathrm{٧}}-\sqrt{\mathrm{٥}})}{\mathrm{٧} - \mathrm{٥}}=\sqrt{\mathrm{٧}}-\sqrt{\mathrm{٥}}$

$\frac{س + ص}{س ص}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٧}}\bcancel{+\sqrt{\mathrm{٥}}}+\sqrt{\mathrm{٧}}\bcancel{-\sqrt{\mathrm{٥}}}}{(\sqrt{\mathrm{٧}}+\sqrt{\mathrm{٥}}) (\sqrt{\mathrm{٧}}-\sqrt{\mathrm{٥}})}=\frac{\bcancel{\mathrm{٢}}\sqrt{\mathrm{٧}}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٧}}$