الدرس التاسع: العمليات على الجذور التكعيبية

١) ضع كلاً مما يأتي على صورة أ$\sqrt[\mathrm{٣}]{ب}$ حيث أ، ب عددان صحيحان، ب أصغر قيمة موجبة ممكنة.

أ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٤}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢٧}}=\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧}}\times \sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ = ٣$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

ب) $\sqrt[\mathrm{٣}]{- \mathrm{١٠٠٠} }$

= - ١٠

جـ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٨}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢} \times \mathrm{٦٤}}$ = ٤$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

د) $\sqrt[\mathrm{٣}]{- \mathrm{٢١٦٠} }$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢١٦} \times \mathrm{١٠}}=\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{٢١٦}}\times \sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٠}}$ = -٦ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٠}}$

هـ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{ \mathrm{١٧١٥} }$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٤٣} \times \mathrm{٥}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٤٣}}\times \sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ = ٧$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$

و) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٦٨٦} }$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٤٣} \times \mathrm{٢}}= \mathrm{٧}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

٢) أوجد ناتج كل مما يأتي في أبسط صورة:

أ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٥}}-\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٤}}$

٥ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣} \times \mathrm{٨}}$

= ٥ - ٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$

ب) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٥٠}}-\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٨}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢٥}}$ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢} \times \mathrm{٦٤}}$

= ٥$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ - ٤$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

جـ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}}\times \sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢٥}}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٤}}{\mathrm{٥} \times \mathrm{٢٥}}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٢٥}}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

د) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}}$ ÷ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}}\times \sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٨}}}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

هـ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٦}}-\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢٧}}}$

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧} \times \mathrm{٨}}$ - $\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}\bcancel{\mathrm{٢}}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢٧}}}=\frac{\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}}{\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}}$ = $\frac{\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}}{\mathrm{٣}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}$ - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}$

= $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}$

و) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٦}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٠٠}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٦ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٠} \times \mathrm{١٠٠}}$

= ٣ $\sqrt[\mathrm{٣}]{ \mathrm{١٠٠٠} }$

= ٣ × ١٠

= ٣٠

٣) إذا كانت أ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ + ١، ب = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ - ١ احسب قيمة كل من:

أ) (أ - ب)^٥

أ - ب = $\bcancel{\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}}$ + ١ $\bcancel{-\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}}$ + ١ = ٢

(أ - ب)^٥ = (٢)^٥ = ٣٢

ب) (‌أ + ب)^٣

أ + ب = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ + ١ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ - ١ = ٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$

(‌أ + ب)^٣ = (٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$)^٣ = ٨ × ٥ = ٤٠

٤) أثبت أن

أ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٨}}+\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}-\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٤}}$ = صفر

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٨}}=\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٦٤} \times \mathrm{٢}}=\mathrm{٤}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}=\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨} \times \mathrm{٢}}=\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٤}}=\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧} \times \mathrm{٢}}= \mathrm{٢} \times \mathrm{٣}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}=\mathrm{٦}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

الأيمن = ٤$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ + ٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ - ٦ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ = ٠ = الأيسر

ب) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٤}}$ × $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}$ ÷ ($\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٤}}$ × ٦) = ١

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٤}}=\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧} \times \mathrm{٢}}= \mathrm{٢} \times \mathrm{٣}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}=\mathrm{٦}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}=\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨} \times \mathrm{٢}}=\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

المقدار = ٦$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٤}}$ ÷ ٦ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٤}}$ = ١

٥) اختر الإجابة الصحيحة مما بين القوسين:

أ) إذا كانت س = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ + ١، ص = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ - ١، فإن (س + ص)^٣ = ..... (٢٤، ١٢، ٦، ٨)

س + ص = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ + ١ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ - ١ = ٢ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$

(س + ص)^٣ = (٢ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$)^٣ = ٨ × ٣ = ٢٤

ب) ٤$\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}$ + ($\sqrt{\mathrm{٢}}$)^صفر + ($\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$)^٢ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٢}}$ = ..... (٤$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ +٢، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ٣، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)

٤$\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}$ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١} \times \mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}= \mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٤}}$

($\sqrt{\mathrm{٢}}$)^صفر = ١

($\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$)^٢ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$ = ٢

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٢}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨} \times \mathrm{٤}}=\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٤}}$

المقدار = $\bcancel{\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٤}}}$ + ١ + ٢ $\bcancel{-\mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٤}}}$ = ٣

جـ) إذا كانت س = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$، ص = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$، فإن (س - ص)^٣ = ...... (٦، ٢٤، ١٢، ٤٠)

س - ص = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ = ٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$

(س - ص)^٣ = (٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$)^٣ = ٨ × ٥ = ٤٠

د) $\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{٢٧}}$ + $\sqrt{\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٤}}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٥},\mathrm{٠}}$ = ...... (١، صفر، -١، $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$)

$\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{٢٧}}$ = -٣

$\sqrt{\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٤}}}$ = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٥},\mathrm{٠}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{١٢٥}}{\mathrm{١٠٠٠}}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

المقدار = -٣ + $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = -٣ + $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢}}$

= -٣ + ٤ = -١

هـ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}$ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ = ...... ($\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٤}}$، $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$، ٨، $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨}}$)

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨} \times \mathrm{٢}}= \mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

١$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

المقدار = ٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ - ١$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

و) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٤}}$ -٦$\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}\mathrm{١٣}}$ = ...... (-٨$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$، ٢٠$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٩}}$، ١٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$، ٨$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$)

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٤}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨} \times \mathrm{٣}}= \mathrm{٢}\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$

٦$\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{١٢٥}}{\mathrm{٩}}}$ = ٦ × ٥$\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}}$ = ٢ × ٣ × ٥ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}}$

= ١٠$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣}}$