الدرس العاشر: تطبيقات على الأعداد الحقيقية

١) اختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس:

أ) المساحة الجانبية للأسطوانة الدائرية القائمة التي طول قطر قاعدتها ل وارتفاعها ع ($\mathrm{\pi }$ ل^٢ ع، $\mathrm{\pi }$ ل ع، ٢$\mathrm{\pi }$ ل ع، $\mathrm{\pi }$ ل ع^٢)

نق = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ل ع

المساحة الجانبية = ٢ $\mathrm{\pi }$ نق × ع = $\bcancel{\mathrm{٢}}$ $\mathrm{\pi }$ × $\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$ × ل ع = $\mathrm{\pi }$ ل ع

ب) حجم كرة طول قطرها ٦ سم = ..... سم^٣ (٢٨٨، ١٢$\mathrm{\pi }$، ٣٦$\mathrm{\pi }$، ٢٨٨$\mathrm{\pi }$)

نق = ٣ سم

الحجم = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ $\mathrm{\pi }$ نق^٣ = $\frac{\mathrm{٤}}{\bcancel{\mathrm{٣}}}$ $\mathrm{\pi }$$\bcancel{\mathrm{٢٧}}$ = ٣٦ $\mathrm{\pi }$ سم^٣

جـ) مكعب حجمه ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$ سم^٣ فأن طول حرفه = ..... سم ($\sqrt{\mathrm{٢}}$، ٢، ٨، ١,٥)

الحجم = ل^٣ = $\sqrt{\mathrm{٢}}$ × $\sqrt{\mathrm{٢}}$ × $\sqrt{\mathrm{٢}}$ = ($\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٣

ل = $\sqrt{\mathrm{٢}}$

د) طول نصف قطر قاعدة أسطوانة دائرية قائمة حجمها ٤٠$\mathrm{\pi }$ سم^٣ وارتفاعها ١٠ سم يساوي .. سم (٥، ٣، ٢، ١)

الحجم = ٤٠$\mathrm{\pi }$

$\bcancel{\mathrm{\pi }}$ نق^٢ × ع = ٤٠ $\bcancel{\mathrm{\pi }}$

نق^٢ × ١٠ = ٤٠

نق^٢ = ٤

نق = ٢

هـ) متوازي المستطيلات الذي أبعاده $\sqrt{\mathrm{٢}}$، $\sqrt{\mathrm{٣}}$، $\sqrt{\mathrm{٦}}$ من السنتمترات يكون حجمه = ...... (٦، ٣٦، ٦$\sqrt{\mathrm{٦}}$،١٨$\sqrt{\mathrm{٢}}$)

$\sqrt{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣} \times \mathrm{٦}}=\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦سم^٣

٢) أكمل لتحصل على عبارة صحيحة:

أ) الكرة التي حجمها $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$$\mathrm{\pi }$سم^٣ يكون طول نصف قطرها .... سم

الحجم = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$$\mathrm{\pi }$

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}\bcancel{\mathrm{\pi }} {\mathrm{نق}}^{\mathrm{٣}} = \frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}\bcancel{\mathrm{\pi }}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ نق^٣ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

نق^٣ = $\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٨}}$

نق = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ = ١,٥

ب) أسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها نق، وارتفاعها ع فإن مساحتها الجانبية = ...... وحجمها = .......

مساحتها الجانبية = ٢$\mathrm{\pi }$ نق ع، وحجمها = $\mathrm{\pi }$ نق^٢ ع

جـ) مكعب طول حرفه ٤ م فإن مساحته الكلية = ....... سم^٢

ل = ٤ سم

مساحة الوجه الواحد = ل^٢ = ٤ × ٤ = ١٦ سم^٢

المساحة الكلية = ٦ ل = ٦ × ^٢١٦ = ٩٦ سم^٢

د) المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = ......

٢(س + ص) ع

٣) كرة حجمها ٣٦$\mathrm{\pi }$ سم^٣ وضعت داخل مكعب مست أوجه المكعب الستة أوجد:

أ) طول نصف قطر الكرة

قطره الكرة = حرف المكعب

حجم الكرة = ٤٦$\mathrm{\pi }$

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$$\bcancel{\mathrm{\pi }}$ نق^٣ = ٣٦ $\bcancel{\mathrm{\pi }}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ نق^٣ = ٣٦ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

نق^٣ = ٢٧

نق = ٣ سم

ب) حجم المكعب

ل = ٢ × نق

ل = ٢ × ٣ = ٦ سم.

الحجم = ل^٣ = ٦ × ٦ × ٦ = ٢١٦ سم^٣

٤) كرة من المعدن طول قطرها ٦ سم صهرت وحولت إلى أسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها ٣ سم احسب ارتفاع الأسطوانة.

حجم الأسطوانة = حجم الكرة، نق للأسطوانة = ٣، نق للكرة = ٣

$\bcancel{\mathrm{\pi }}$ نق^٢ × ع = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}\bcancel{\mathrm{\pi }}$ نق^٣

٩ × ع = $\frac{\mathrm{٤}}{\bcancel{\mathrm{٣}}}$ × ${\bcancel{\mathrm{٢٧}}}^{\mathrm{٩}}$

٩ع = ٤ × ٩

ع = ٤

٥) إذا كان ارتفاع أسطوانة دائرية قائمة يساوي طول نصف قطر قاعدتها أوجد ارتفاع الأسطوانة علماً بأن حجمها ٧٢$\mathrm{\pi }$ سم^٣.

ع = نق

حجم الأسطوانة = ٧٢ $\mathrm{\pi }$

$\bcancel{\mathrm{\pi }}$ نق^٢ × ع = ٧٢ $\bcancel{\mathrm{\pi }}$

ع^٢ × ع^١ = ٧٢

ع^٣ = ٧٢

ع = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧٢}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٩} \times \mathrm{٨}}$= ٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٩}}$ سم.

٦) كرة معدنية جوفاء طول نصف قطرها الداخلي ٢,١ سم وطول نصف قطرها الخارجي ٣,٥ سم. أوجد كتلتها لأقرب جرام علماً بأن السنتمتر المكعب من هذا المعدن كتلته ٢٠ جم ($\mathrm{\pi }$ = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)

حجم الكرة = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ $\mathrm{\pi }$ (نق_٢ - نق_١)^٣

حجم الكرة = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ $\mathrm{\pi }$ (٣,٥ - ٢,١)^٣

حجم الكرة = ١١,٤٩ $\simeq$ ١١ سم^٣

كتلة الكرة = ١١ × ٢٠ = ٢٢٠