تمارين عامة على الأعداد الحقيقية

١) أكمل لتحصل على عبارة صحيحة:

أ) $\sqrt{\mathrm{٩}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{٨}}$ = .....

٣ + (-٢) = ٣ - ٢ = ١

ب) إناء على شكل مكعب سعته ٨ لترات يكون طول حرفه الداخلي = ...... سم.

اللتر = ١٠٠٠ سم^٣

٨ × ١٠٠٠ = ٨٠٠٠ سم^٣

٨٠٠٠ = طول الحرف × طول الحرف × طول الحرف

الجواب = ٢٠

جـ) مجموعة الحل في ح للمعادلة س^٢ + ٩ = ٠ هي ......

$\varnothing$

د) ($\sqrt{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ + ($\sqrt{\mathrm{٣}}$ - $\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ = .....

[٣ + ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$ + ٢] + [٣ -٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$ + ٢] = ٥ + ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$ + ٥ - ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$

= ١٠

هـ) المستطيل الذي بعداه ($\sqrt{\mathrm{٥}}$ + ١) سم، ($\sqrt{\mathrm{٥}}$ - ١) سم تكون مساحته = ...... سم^٢.

٥ - ١ = ٤

و) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٤}}$ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{١٦}}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{........}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧}\times \mathrm{٢}}+\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧}\times \mathrm{٢}}+\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨}\times \mathrm{٢}}$

= ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$ + ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$

= ٥$\sqrt{\mathrm{٢}}$

ز) [-١، ٥] - ]-١، ٥[ = ......

{-١، ٥}

ح) مجموعة الحل في ح للمعادلة $\sqrt{\mathrm{٢}}$ س - ١ = ٣ هي ......

$\sqrt{\mathrm{٢}}$س = ٤

س = $\frac{\mathrm{٤}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$

س = $\frac{\mathrm{٤}\times \sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}\times \sqrt{\mathrm{٢}}}$ = $\frac{\mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$

م. ح = ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$

ط) الكرة التي طول قطرها ٦ ل وحدة طولية يكون حجمها ..... وحدة مكعبة.

$\frac{\mathrm{٤}}{\bcancel{\mathrm{٣}}}$$\mathrm{\pi }$ × $\bcancel{\mathrm{٣}}$ ل × ٣ل × ٣ل = ٣٦ $\mathrm{\pi }$ ل^٣

ي) $\left|\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{١٢٥}}\right|$ = $\sqrt{......}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٢٥}}$ = $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$

٢) أوجد على صورة فترة مجموعة الحل في ح لكل من المتباينات التالية، ومثل الحل على خط الأعداد:

أ) ٥س - ٣ < ٢س + ٩

٣س < ١٢

س < ٤

]$\infty$،٤[

ب) ٣ - ٤س $\ge$ س - ٢

-٥س $\ge$ -٥

$\frac{-\mathrm{٥}}{-\mathrm{٥}}$س $\ge$ $\frac{-\mathrm{٥}}{-\mathrm{٥}}$

س $\le$ ١

]-$\infty$، ١]

جـ) س $\le$ ٢س - ١ $\le$ س + ٢

س $\le$ ٢س - ١ $\le$ س + ٢

بطرح س من الأطراف

$\bcancel{س}\bcancel{-س}$ $\le$ ٢س - س $\le$$\bcancel{س}\bcancel{-س}$ + ٣

+ ١ $\le$ س - ١ $\le$ ٣

١ $\le$ س $\le$ ٤

[١، ٤]

د) س - ١ < ٣س - ١ $\le$ س + ١

س - ١ < ٣س - ١ $\le$ س + ١ بطرح س من الأطراف

$\bcancel{س}\bcancel{-س}$ -١ < ٣س - س $\le$$\bcancel{س}\bcancel{-س}$ + ١

- ١ < ٢س - ١ $\le$ ١ بإضافة ١

-١ + ١ < ٢س $\le$ ٢ (بالقسمة على ٢)

$\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{٢}}$ < $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$س $\le$ $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$

٠ < س $\le$ ١

]٠، ١]

هـ) ٤س $\le$ ٥س + ٢ < ٤س + ٣

٤س $\le$ ٥س + ٢ < ٤س + ٣ بطرح ٤س من الأطراف

$\bcancel{\mathrm{٤}س}\bcancel{-\mathrm{٤}س}$ $\le$ ٥س - ٤س + ٢ < $\bcancel{\mathrm{٤}س}\bcancel{-\mathrm{٤}س}$ + ٣

٠ $\le$ س + ٢ < ٣ بطرح ٢ من الأطراف

٠ - ٢ $\le$ س + ٢ - ٢ < ٣ - ٢

- ٢ $\le$ س < ١

[-٢، ١[

و) ٥س + ٧ > ٦س > ٥س

٥س + ٧ > ٦س > ٥س بطرح ٥س من الأطراف

$\bcancel{\mathrm{٥}س}\bcancel{-\mathrm{٥}س}$ + ٧ > ٦س - ٥س > $\bcancel{\mathrm{٥}س}\bcancel{-\mathrm{٥}س}$

٧ > س > ٠

]٠، ٧[

٣) إذا كانت س = $\frac{\sqrt{\mathrm{٦}}+\sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٦}}-\sqrt{\mathrm{٥}}}$ فأثبت أن س + $\frac{\mathrm{١}}{س}$ = ٢٢

$\frac{\sqrt{\mathrm{٦}}+\sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٦}}-\sqrt{\mathrm{٥}}}$ + $\frac{\sqrt{\mathrm{٦}}+\sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٦}}-\sqrt{\mathrm{٥}}}$

$\frac{\mathrm{٦}+\mathrm{٥}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}}}{\mathrm{٦}-\mathrm{٥}}$ = $\frac{\mathrm{١١}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}}}{\mathrm{١}}$ = ١١ + ٢$\sqrt{\mathrm{٣٠}}$

س + $\frac{\mathrm{١}}{س}$ = ١١ + ٢$\sqrt{\mathrm{٣٠}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١١}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}}}$

= ١١ + ٢$\sqrt{\mathrm{٣٠}}$ + $\frac{\mathrm{١}(\mathrm{١١}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}})}{(\mathrm{١١}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}})(\mathrm{١١}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}})}$

= ١١ + ٢$\sqrt{\mathrm{٣٠}}$ + $\frac{\mathrm{١١}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}}}{\mathrm{١٢١}-\mathrm{١٢٠}}$

= ١١ + ٢$\sqrt{\mathrm{٣٠}}$ + $\frac{\mathrm{١١}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣٠}}}{\mathrm{١}}$

= ١١ + ٢$\sqrt{\mathrm{٣٠}}$ + ١١ - ٢$\sqrt{\mathrm{٣٠}}$

= ١١ + ١١

= ٢٢

٤) أوجد في أبسط صورة: $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥٤}}+\mathrm{٤}\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}}$ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{٢}}$

= $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧}\times \mathrm{٢}}+\sqrt[\mathrm{٣}]{\frac{\mathrm{٦٤}}{\mathrm{٤}}}-\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{٢}}$

= ٣ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{١٦}}$ - (-$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$)

= ٣ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨}\times \mathrm{٢}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

= ٣ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ + ٢ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

= ٦ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

٥) أسطوانة دائرية قائمة حجمها ٧٢$\mathrm{\pi }$ سم^٣، ارتفاعها ٨ سم. أوجد مساحتها الكلية.

حجم الأسطوانة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢ ع

٧٢ $\bcancel{\mathrm{\pi }}$ = $\bcancel{\mathrm{\pi }}$ نق^٢ × ٨

٧٢ = ٨ × نق^٢ $\leftarrow$نق^٢ = ٩ سم، نق = ٣ سم

المساحة الكلية = ٢ $\mathrm{\pi }$ نق + ٢ $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= ٢ $\mathrm{\pi }$ ٣ × ٨ + ٢ $\mathrm{\pi }$ × ٩

= ٤٨ $\mathrm{\pi }$ + ١٨ $\mathrm{\pi }$

= ٦٦ $\mathrm{\pi }$

٦) أوجد مستعيناً بخط الأعداد [٣، ٦[∩ [٤، ٧[

= [٤، ٦[

٧) إذا كانت س = $\frac{\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$، ص = $\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$ فأوجد قيمة

أ) س^٢ + ص^٢

س = $\frac{(\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}})\times \sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}\times \sqrt{\mathrm{٥}}}$ = $\frac{\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{١٠}}+\mathrm{١٥}}{\mathrm{٥}}=\sqrt{\mathrm{١٠}}$ + ٣

ص = $\frac{(\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}})\times \sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}\times \sqrt{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$= $\sqrt{\mathrm{١٠}}$ - ٣

س^٢ + ص^٢ = ($\sqrt{\mathrm{١٠}}$ + ٣)^٢ + ($\sqrt{\mathrm{١٠}}$ - ٣)^٢ = ١٠ + ٩ + ٦$\sqrt{\mathrm{١٠}}$ + ١٠ + ٩ - ٦$\sqrt{\mathrm{١٠}}$

= ١٩ + ١٩

= ٣٨

ب) س ص

س ص = ($\sqrt{\mathrm{١٠}}$ + ٣) ($\sqrt{\mathrm{١٠}}$ - ٣) = ١٠ - ٩ = ١

وأثبت أن س^٢ + ص^٢ = ٣٨ س ص

س^٢ + ص^٢ = ٣٨

٣٨ س ص = ٣٨ × ١ = ٣٨

س^٢ + ص^٢ = ٣٨ س ص

٨) إذا كانت س = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ + ٢، ص = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ - ٢ فأوجد قيمة (س + ص)^٣ + (س - ص)^٣

(س + ص)^٣ + (س - ص)^٣

($\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ + ٢ + $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ - ٢)^٣ + ($\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ + ٢ - $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$ + ٢)^٣

= (٢$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٥}}$)^٣ + (٤)^٣

= ٤٠ + ٦٤ = ١٠٤

٩) إذا كانت س = $\sqrt{\mathrm{٥}}$ - $\sqrt{\mathrm{٣}}$، ص = $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٥}}-\sqrt{\mathrm{٣}}}$ فأوجد قيمة (س^٢ + ٢س ص + ص^٢)

س = $\sqrt{\mathrm{٥}}$ - $\sqrt{\mathrm{٣}}$، ص = $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٥}}-\sqrt{\mathrm{٣}}}$

ص = $\frac{\mathrm{٢} (\sqrt{\mathrm{٥}}+\sqrt{\mathrm{٣}})}{(\sqrt{\mathrm{٥}} - \sqrt{\mathrm{٣}}) (\sqrt{\mathrm{٥}}+\sqrt{\mathrm{٣}})}=\frac{\mathrm{٢}(\sqrt{\mathrm{٥}}+\sqrt{\mathrm{٣}})}{\mathrm{٢}}$ = $\sqrt{\mathrm{٥}}+\sqrt{\mathrm{٣}}$

س^٢ + ٢س ص + ص^٢ = (س + ص)^٢

(س + ص)^٢ = ($\sqrt{\mathrm{٥}}$ - $\sqrt{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt{\mathrm{٥}}+\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٢

= (٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢

= ٤ × ٥ = ٢٠

١٠) إذا كانت أ = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$، ب = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ - $\sqrt{\mathrm{٢}}$ فأوجد قيمة أ^٢ - أ ب + ب^٢

= ($\sqrt{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ - ($\sqrt{\mathrm{٣}}$ + $\sqrt{\mathrm{٢}}$) ($\sqrt{\mathrm{٣}}$ - $\sqrt{\mathrm{٢}}$ ) + ($\sqrt{\mathrm{٣}}$ - $\sqrt{\mathrm{٢}}$ )^٢

= ٣ + ٢ + ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$ - (٣ -٢) + (٣ + ٤ - ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$)

= ٥ + ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$ - ١ + ٥ - ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$

= ٩

١١) إذا كانت س = $\frac{\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$، ص = $\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$ فأثبت أن $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+{ص}^{\mathrm{٢}}}{سص}$ = ٣٨

س = $\frac{(\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}) \times \sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٥}} \times \sqrt{\mathrm{٥}}}=\frac{\mathrm{١٥} + \mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{١٠}}}{\mathrm{٥}}$

س = ٣ + $\sqrt{\mathrm{١٠}}$

ص = $\frac{(\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}) \times \sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٢}} \times \sqrt{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$

ص = $\sqrt{\mathrm{١٠}}$ - ٣

١٢) في الشكل المقابل: دائرة مرسومة داخل المربع أ ب جـ د فإذا كانت مساحة الجزء المظلل $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤٧}$ سم^٢ أوجد محيط هذا الجزء ($\mathrm{\pi }$ = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)

١٣) قطعة من الورق على شكل مستطيل أ ب جـ د، فيه أ ب = ١٠ سم، ب جـ = ٤٤ سم، طويت على شكل أسطوانة دائرية قائمة، بحيث ينطبق $\overline{أب}$ على $\overline{د\mathrm{جـ}}$ أوجد حجم الأسطوانة الناتجة ($\mathrm{\pi }$ = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)