الدرس الأول: البعد بين نقطتين

أولاً: أكمل ما يأتي:

١) البعد بين النقطة (-٣، ٤) ونقطة الأصل يساوي......

$\sqrt{{(-\mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٩} + \mathrm{١٦}}=\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

٥ وحدات.

٢) البعد بين النقطتين (-٥، ٠)، (٠، ١٢) يساوي ......

$\sqrt{{(-\mathrm{٥})}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{١٤٤}}=\sqrt{\mathrm{١٦٩}}$ = ١٣

٣) البعد بين النقطتين (١٥، ٠)، (٦، ٠) يساوي ......

$\left|\mathrm{١٥} - \mathrm{٦}\right|$ = ٩

٤) طول نصف قطر الدائرة التي مركزها (٧، ٤) وتمر بالنقطة (٣، ١) يساوي .....

نق = $\sqrt{{(\mathrm{٧} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٤} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{١٦} + \mathrm{٩}}=\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥ وحدة طول.

٥) إذا كان البعد بين النقطتين (أ، ٠)، (٠، ١) هو وحدة طول واحدة؛ فإن أ = ........

أ = صفر.

ثانياً: اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة:

١) النقط (٠، ٠)، (٦، ٠)، (٠، ٨):

أ) تكون مثلث منفرج الزاوية

ب) تكون مثلث حاد الزوايا

جـ) تكون مثلث قائم الزاوية

د) تقع على استقامة واحدة

٢) دائرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها ٢ وحدة، فأي من النقط الآتية تنتمي للدائرة؟

(أ) (١، ٢)

(ب) (-٢، ١)

(جـ) ($\sqrt{\mathrm{٣}}$، ١)

(د) ($\sqrt{\mathrm{٢}}$، ١)

٣) بين أياً من مجموعات النقط الآتية تقع على استقامة واحدة:

أ) (١، ٤)، (٣، -٢)، (-٣، ١٦)

ب) (٧، ٠)، (-٣، -٣)، (٢٢، ٩)

جـ) (-١، -٤)، (١، ٠)، (٢، ٢)

د) (-١، -٤)، (١، ٠)، (٠، -٢)

نسمي النقط أ، ب، جـ

أ ب = $\sqrt{{(\mathrm{٢} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}+ {(-\mathrm{٢} -\mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٤} + \mathrm{٣٦}}=\sqrt{\mathrm{٤٠}}=\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}$

ب جـ = $\sqrt{{(-\mathrm{٢} -\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{١٦} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٢٦٠}}=\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{١٠}}$

أ جـ = $\sqrt{{(-\mathrm{٢} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٦} - \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{١٦} + \mathrm{١٤٤}}=\sqrt{\mathrm{١٦٠}}=\mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{١٠}}$

ب جـ = أ جـ + أ ب على استقامة واحد

ثالثاً: أجب عن الأسئلة الآتية:

١) أوجد قيمة أ في كل من الحالات الآتية:

أ) إذا كان البعد بين النقطتين (أ، ٧)، (-٢، ٣) يساوي ٥

$\sqrt{{(أ + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}+ {(\mathrm{٧} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥ نربع الطرفين

(أ + ٥)^٢ + ١٦ = ٢٥

(أ + ٥)^٢ = ٢٥ - ١٦

(أ + ٥)^٢ = ٩

أ + ٢ = $\pm$ ٣

أ + ٢ = ٣، أ + ٢ = - ٣

• أ = ٣ - ٢ = ١
• أ = -٣ - ٢ = -٥

ب) إذا كان البعد بين النقطتين (أ، ٧)، (٣أ - ١، -٥) يساوي ١٣

$\sqrt{{(\mathrm{٣}أ -\mathrm{١} -أ)}^{\mathrm{٢}}+ (-\mathrm{٥}-\mathrm{٧})}$ = ١٣ نربع الطرفين

(٢أ - أ)^٢ + ١٤٤ = ١٦٩

(٢أ - أ)^٢ = ١٦٩ - ١٤٤ = ٢٥

٢أ - ١ = ٥، ٢أ - ١ = -٥

• ٢أ = ٥ + ١ = ٦

أ = ٣

• ٢أ = -٥ - ١ = -٤

أ = -٢

٢) إذا كانت أ (س، ٣)، ب (٣، ٢)، جـ (٥، ١) وكانت أ ب = ب جـ؛ فأوجد قيمة س.

أ ب = $\sqrt{{(س - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{{(س - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}+ \mathrm{١}}$

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} - \mathrm{٥})}^{\mathrm{٢}}+ {(\mathrm{٢} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٤} + \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٥}}$

أ ب = ب جـ

$\sqrt{{(س - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}+ \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٥}}$ نربع الطرفين

(س - ٣)^٢ + ١ = ٥

(س - ٣)^٢ = ٥ - ١ = ٤

س - ٣ = $\pm$ ٢

س - ٣ = ٢، س - ٣ = - ٢

• س = ٢ + ٣ = ٥
• س = - ٢ + ٣ = ١

س = ٥ أو ١

٣) إذا كان بعد النقطة (س، ٥) عن النقطة (٦، ١) يساوي ٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$؛ فأوجد قيمة س.

أ ب = ٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$

$\sqrt{{(س - \mathrm{٦})}^{\mathrm{٢}}+{(\mathrm{٥} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}} = \mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}$ نربع الطرفين

(س - ٦)^٢ + ١٦ = ٤ × ٥

(س - ٦)^٢ = ٢٠ - ١٦

(س - ٦)^٢ = ٤ بجذر الطرفين

س - ٦ = $\pm$ ٢

س - ٦ = ٢، س - ٦ = -٢

٤) بين نوع كل مثلث من المثلثات الآتية بالنسبة إلى زواياه:

أ) أ (٣، ١٠)، ب (٨، ٥)، جـ (٥، ٢)

(أ ب)^٢ = (٨ - ٣)^٢ + (٥ - ١٠)^٢

= ٢٥ + ٢٥ = ٥٠

(ب جـ)^٢ = (٨ - ٥)^٢ + (٥ - ٢)^٢

= ٩ + ٩ = ١٠٨

(أ جـ)^٢ = $\sqrt{{(\mathrm{٥} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٢} - \mathrm{١٠})}^{\mathrm{٢}}}$

(أ جـ)^٢ = $\sqrt{\mathrm{٤} + \mathrm{٦٤}}$ = ٦٨

(أ جـ)^٢ = (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

المثلث قائم الزاوية في ب.

ب) أ (١، -١)، ب (٢، ١)، جـ (-٣، -٢)

(أ ب)^٢ = (٢ - ١)^٢ + (١ + ١)^٢

= ١ + ٤ = ٥

(ب جـ)^٢ = (٢ + ٣)^٢ + (١ + ٢)^٢

= ٢٥ + ٩ = ٣٤

(أ جـ)^٢ = (-٣ -١)^٢ + (-٢ + ١)^٢

(أ جـ)^٢ = ١٦ + ١ = ١٧

(ب جـ)^٢ > (أ ب)^٢ + (أ جـ)^٢

المثلث منفرج الزاوية في أ.

جـ) أ (٣، ٣)، ب (٤، -١)، جـ (١، ١)

(أ ب)^٢ = (٤ - ٣)^٢ + (-١ - ٣)^٢

= ١ + ٦ = ١٧

(ب جـ)^٢ = (٤ - ١)^٢ + (-١ - ١)^٢

= ٩ + ٤ = ١٣

(أ جـ)^٢ = (٣ -١)^٢ + (٣ - ١)^٢

(أ جـ)^٢ = ٤ + ٤ = ٨

(أ ب)^٢ < (أ جـ)^٢ + (ب جـ)^٢

المثلث حاد الزوايا.

٥) بين نوع المثلث الذي رؤوسه النقط أ (-٢، ٤)، ب (٣، -١)، جـ (٤، ٥) بالنسبة لأضلاعه.

(أ ب) = $\sqrt{{(\mathrm{٤} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{١} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{٢٥}}=\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}$

(ب جـ) = $\sqrt{{(\mathrm{٤} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٥} + \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{١} + \mathrm{٣٦}}=\sqrt{\mathrm{٣٧}}$

(أ جـ) = $\sqrt{{(\mathrm{٤} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٥} -\mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}$

(أ جـ) = $\sqrt{\mathrm{٣٦} + \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٣٧}}$

ب جـ = أ جـ

المثلث متساوي الساقين.

٦) أثبت أن المثلث الذي رؤوسه النقط أ (٥، -٥)، ب (-١، ٧)، جـ (١٥، ١٥) قائم الزاوية في ب، ثم أوجد مساحته.

(أ جـ)^٢ = (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

(أ جـ)^٢ = (١٥ - ٥)^٢ + (١٥ + ٥)^٢

= ١٠٠ + ٤٠٠ = ٥٠٠

(أ ب)^٢ = (٥ + ١)^٢ + (-٥ - ٧)^٢

= ٣٦ + ١٤٤ = ١٨٠

(ب جـ)^٢ = (١٥ + ١)^٢ + (١٥ - ٧)^٢

= (١٦)^٢ + (٨)^٢

= ٢٥٦ + ٦٤ = ٣٢٠

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = ١٨٠ + ٣٢٠ = ٥٠٠

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = (أ ب)^٢

المثلث القائم الزاوية في ب

مساحة المثلث أ ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ ب × ب جـ

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × $\sqrt{\mathrm{١٨٠}}\times \sqrt{\mathrm{٣٢٠}}$

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٦ $\sqrt{\mathrm{٥}}$ × ٨ $\sqrt{\mathrm{٥}}$

= ٢٤ × ٥ = ١٢٠ سم^٢

٧) أ ب جـ د شكل رباعي حيث أ (٥، ٣)، ب (٦، -٢)، جـ (١، -١)، (٠، ٤) أثبت أن الشكل أ ب جـ د معين، ثم أوجد مساحته.

أ ب = $\sqrt{{(\mathrm{٦} - \mathrm{٥})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٢} -\mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{١} + \mathrm{٢٥}}=\sqrt{\mathrm{٢٦} }$

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٦} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٢} + \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٢٦}}$

جـ ء = $\sqrt{{(\mathrm{١} - \mathrm{٠})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{١} -\mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٢٦}}$

أ ء = $\sqrt{{(\mathrm{٥} - \mathrm{٠})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} -\mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٢٦}}$

أ ب = ب جـ = جـ ء = م ء إذا الشكل معين.

نحسب القطرين أ جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٥} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}$ = $\sqrt{\mathrm{١٦} + \mathrm{١٦}}$ = ٤$\sqrt{\mathrm{٢}}$

ب ء = $\sqrt{{(\mathrm{٦} - \mathrm{٠})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٢} - \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}$ = $\sqrt{\mathrm{٣٦} + \mathrm{٣٦}}$ = ٦ $\sqrt{\mathrm{٢}}$

مساحة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ حاصل ضرب القطرين

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ٤ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ × ٦ $\sqrt{\mathrm{٢}}$

= ١٢ × ٢ = ٢٤ وحدة مربعة.

٨) أثبت أن النقط أ (-٢، ٥)، ب (٣، ٣)، جـ (-٤، ٢) ليست على استقامة واحدة، وإذا كانت د (-٩، ٤) فأثبت أن الشكل أ ب جـ د متوازي أضلاع.

أ ب = $\sqrt{{(-\mathrm{٢} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٥} -\mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{٤}}=\sqrt{\mathrm{٢٧} }=\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣}}$

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٤٩}+ \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٥٠}}=\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}$

أ جـ = $\sqrt{{(-\mathrm{٢} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٥} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٤} + \mathrm{٩}} =\sqrt{\mathrm{١٣}}$

إذا النقاط ليست على استقامة واحدة.

فأثبت أن الشكل أ ب جـ د متوازي أضلاع.

أ ب = $\sqrt{{(-\mathrm{٢} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٥} -\mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{٤}}=\sqrt{\mathrm{٢٩}}$

جـ ء = $\sqrt{{(-\mathrm{٩} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٤} -\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{٤}}=\sqrt{\mathrm{٢٩}}$

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٤٩}+ \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٥٠}}$

أ ء = $\sqrt{{(-\mathrm{٢} + \mathrm{٩})}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{١}\right)}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٤٩}+ \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{٥٠}}$

إذا الشكل متوازي أضلاع لأن كل ضلعين متقابلين متساويين في الطول

٩) في الشكل المقابل:

أ) أوجد إحداثيات النقط التي تمثل مواقع منزل أحمد ومنزل سعيد وموقف السيارات والمدرسة.

منزل أحمد أ = (٢، ٣)

منزل سعيد ء = (١، ٧)

موقف المدرسة = ب (٦، ٠)

المدرسة جـ (١٢، ٨)

ب) بعد منزل أحمد عن المدرسة.

بعد منزل أحمد عن المدرسة = $\sqrt{{(\mathrm{١٢} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٨} -\mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{١٠٠} + \mathrm{٢٥}}=\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$ = ٥$\sqrt{\mathrm{٥}}$

جـ) بعد منزل سعيد عن المدرسة.

بعد منزل سعيد عن المدرسة = $\sqrt{{(\mathrm{١٢} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٨} -\mathrm{٧})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{١٢١} + \mathrm{١}}=\sqrt{\mathrm{١٢٢}}$ = ٥$\sqrt{\mathrm{٥}}$

د) أيهما أقرب: منزل أحمد عن المدرسة أم منزل سعيد عن المدرسة؟

منزل سعيد الأقرب إلى المدرسة.

هـ) هل الطريقان، $\overline{أ ب}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ متعامدان؟ اذكر السبب.

(أ ب)^٢ = (٦ - ٢)^٢ + (٠ - ٣)^٢ = ١٦ + ٩ = ٢٥

(أ جـ)^٢ = (١٢ - ٢)^٢ + (٨ - ٣)^٢ = ١٠٠ + ٢٥ = ١٢٥

(ب جـ)^٢ = (١٢ - ٦)^٢ + (٨ - ٠)^٢ = ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠

(أ جـ)^٢ = (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

١٢٥ = ٢٥ + ١٠٠

إذاً أ ب عمودي على ب جـ

ق ($\angle$ ب) = ٩٠°

١٠) إذا كانت أ، ب، جـ، د أربع نقط معلومة في مستوى إحداثي متعامد؛ فحدد الشروط التي تجعل هذه النقط رؤوساً لكل من الأشكال الهندسية الآتية:

١) متوازي أضلاع

أ ب = جـ ء

أ ء = ب جـ كل ضلعين متقابلين متساويين في الطول.

٢) مستطيل

أ ب = جـ ء

أ ء = ب جـ

أ جـ = ب ء القطران متساويان.

٣) معين

أ ب = ب جـ = جـ ء = أ ء

٤) مربع

أ ب = ب جـ = جـ ء = أ ء

أ جـ = ب ء القطران متساويان.