الدرس الثاني: احداثيا منتصف قطعة مستقيمة

أولاً: أكمل

أ) إذا كانت نقطة الأصل هي منتصف القطعة المستقيمة $\overline{أ ب}$ حيث أ (٥، -٢) فإن إحداثيي النقطة ب هي ......

نقطة الأصل (٠، ٠)

($\frac{\mathrm{٥} + س}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٢} + ص}{\mathrm{٢}}$)

• $\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{١}}،\frac{\mathrm{٥} + س}{\mathrm{٢}}$

٥ + س = ٠

س = -٥

• $\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{١}}،\frac{-\mathrm{٢} + ص}{\mathrm{٢}}$

-٢ + ص = ٠

ص = ٢

نقطة المنتصف (-٥ ،٢)

ب) إذا كانت أ، ب، جـ، د أربع نقط على استقامة واحدة، كان أ ب = ب جـ = جـ ء، أ (١، ٣)، جـ (٥، ١) أوجد:

أولاً: إحداثيي النقطة ب هي (.....، .....)

ب = ($\frac{\mathrm{١} + \mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٣} + \mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) = (٣، ٢)

ثانياً: إحداثيي النقطة د هي (.....، .....)

(٥، ١)

($\frac{\mathrm{٣} + س}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{٢} + ص}{\mathrm{٢}}$)

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣} + س}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}،\frac{\mathrm{٢} + ص}{\mathrm{٢}}$

٣ + س = ١٠، ٢ + ص = ٢

س = ١٠ - ٣، ص = ٢ - ٢

س = ٧، ص = ٠

إحداثيا النقطة (٧، ٠)

جـ) $\overline{أ ء}$ متوسط في $△$ أ ب جـ، م منتصف $\overline{أ ء}$ حيث أ (٠، ٨)، ب (٣، ٢)، جـ (-٣، ٦) أوجد:

أولاً: إحداثيي النقطة د هي (.....، .....)

ء منتصف ب جـ

ء ($\frac{\mathrm{٣} -\mathrm{٣} }{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٣} + \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$) = (٠، ٤)

ثانياً: إحداثيي النقطة م هي (.....، .....)

م منتصف أ ء

م = ($\frac{\mathrm{٠} + \mathrm{٠}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٨} + \mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$) = (٠، ٦)

د) لإثبات أن النقط أ (٤، ٣)، ب (١، ١)، جـ (-٥، -٣) تقع على استقامة واحدة أكمل:

أ ب = $\sqrt{{(\mathrm{١} - \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}+ {(\mathrm{١} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$ = .......

$\sqrt{\mathrm{١٣}}$

ب جـ = $\sqrt{{(-\mathrm{٥} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}+ {(-\mathrm{٣} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}}$ = ......

٢$\sqrt{\mathrm{١٣}}$

أ جـ = $\sqrt{{(-\mathrm{٥} - \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}+ {(-\mathrm{٣} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}$ = ......

٣$\sqrt{\mathrm{١٣}}$

$\therefore$ أ ب + ب جـ = ..... + ..... = ......

$\sqrt{\mathrm{١٣}}$ + ٢ $\sqrt{\mathrm{١٣}}$ = ٣ $\sqrt{\mathrm{١٣}}$

$\because$ أ ب + ..... = أ جـ

ب جـ

$\therefore$ النقط أ، ب، جـ على استقامة واحدة.

هـ) أوجد إحداثيي نقطة جـ حيث جـ منتصف $\overline{أ ب}$ في الحالات الآتية:

١) أ (٢، ٤)، ب (٦، ٠)، جـ (.....، .....)

جـ ($\frac{\mathrm{٢} + \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٤} + \mathrm{٠}}{\mathrm{٢}}$) = (٤، ٢)

٢) أ (٧، -٥) ، ب (-٣، ٥)، جـ (.....، .....)

جـ ($\frac{\mathrm{٧}- \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٥} + \mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$) = (٢، ٠)

٣) أ (-٣، ٦)، ب (٣، -٦)، جـ (.....، .....)

جـ ($\frac{-\mathrm{٣} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٦} -\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$) = (٠، ٠)

٤) أ (٧، -٦)، ب (-١، ٠)، جـ (.....، .....)

جـ ($\frac{\mathrm{٧} -\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٦} + \mathrm{٠}}{\mathrm{٢}}$) = (٣، -٣)

ثانياً: ١) إذا كانت جـ منتصف فأوجد س، ص في كل من الحالات الآتية:

أ) أ (١، ٥)، ب (٣، ٧)، جـ (س، ص)

(س، ص) = ($\frac{\mathrm{١} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٥} + \mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$)

س = $\frac{\mathrm{١} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، ص = $\frac{\mathrm{٥} + \mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$

س = ٢، ص = ٦

ب) أ (-٣، ص)، ب (٩، ١١)، جـ (س، -٣)

(س، -٣) = ($\frac{-\mathrm{٣} +\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}، \frac{ص + \mathrm{١١}}{\mathrm{٢}}$)

س = $\frac{-\mathrm{٣} +\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$، ص = $\frac{ص + \mathrm{١١}}{\mathrm{٢}}$

س = ٣، ص = -١٧

جـ) أ (س، -٦)، ب (٩، -١١)، جـ (-٣، ص)

(-٣، ص) = ($\frac{س + \mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٦} -\mathrm{١١}}{\mathrm{٢}}$)

س = $\frac{س + \mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$، ص = $\frac{-\mathrm{٦} -\mathrm{١١}}{\mathrm{٢}}$

س + ٩ = -٦، ص = $\frac{-\mathrm{١٧}}{\mathrm{٢}}$

س = -٦ -٩

س = -١٥، ص = $\frac{-\mathrm{١٧}}{\mathrm{٢}}$

د) أ (س، ٣)، ب (٦، ص)، جـ (٤، ٦)

(٤، ٦) = ($\frac{س + \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٣} +ص}{\mathrm{٢}}$)

س = $\frac{س + \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$، ٦ = $\frac{\mathrm{٣} +ص}{\mathrm{٢}}$

س + ٦ = ٨، ٣ + ص = ١٢

س = ٢ ص = ١٢ - ٣ = ٩

٢) إذا كانت أ (١، - ٦)، ب (٩، ٢) فأوجد إحداثيات النقط التي تقسم $\overline{أ ب}$ إلى أربعة أجزاء متساوية في الطول.

جـ منتصف $\overline{أ ب}$ = ($\frac{\mathrm{١} + \mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٦} + \mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$) = (٥، -٢)

ء منتصف أ جـ = $\frac{\mathrm{١} + \mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٦} - \mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$ = (٣، -٤)

هـ منتصف $\overline{\mathrm{جـ} ب}$ = $\frac{\mathrm{٥}+ \mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٢}+ \mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$ = (٧، ٠)

٣) أثبت أن النقط أ (٦، ٠)، ب (٢، -٤)، جـ (-٤، ٢) هي رؤوس مثلث قائم الزاوية في ب، ثم أوجد إحداثيي نقطة د التي تجعل الشكل أ ب جـ د مستطيلاً.

أ ب = $\sqrt{{(\mathrm{٦} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٠} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٢}}$ وحدة طول.

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٢} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٤} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٢}}$ وحدة طول

أ جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٦} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٠} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢٦}}$ وحدة طول

(أ ب)^٢ = (٤$\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ = ٣٢، (ب جـ)^٢ = (٦$\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ = ٧٢

(أ جـ)^٢ = (٢$\sqrt{\mathrm{٢٦}}$)^٢ = ١٠٤

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = ٣٢ + ٧٢ = ١٠٤

إذاً (أ جـ)^٢ = (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

إذاً المثلث أ ب جـ قائم.

م منتصف أ جـ = $\frac{\mathrm{٦} - \mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٠} + \mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$ = (١، ١)

م منتصف ب ء = $\frac{\mathrm{٢} + س}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٤} + ص}{\mathrm{٢}}$ = (٠، ٦)

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}$ = $\frac{\mathrm{٢} + س}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}$ = $\frac{-\mathrm{٤} + ص}{\mathrm{٢}}$

٢ + س = ٢، -٤ + ص = ٢

س = ٢ - ٢ = ٠، ص = - ٢ + ٤ = ٦

٤) إذا كانت النقط أ (٣، ٢)، ب (٤، -٣)، جـ (-١، -٢)، د (-٢، ٣) هي رؤوس معين، فأوجد:

أ) إحداثيي نقطة تقاطع القطرين.

$\because$ أ ب جـ ء معين

$\therefore$ م منتصف $\overline{ب ء}$ = $\frac{\mathrm{٤} - \mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٣} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ = (١، ٠)

أ جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} + \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٢} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٢}}$ وحدة طول.

ب ء = $\sqrt{{(\mathrm{٤} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٣} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٢}}$ وحدة طول.

ب) مساحة المعين أ ب جـ د.

مساحة المعين = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٤$\sqrt{\mathrm{٢}}$ × ٦ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ = ٢٤ وحدة مربعة.

٥) أثبت أن النقط أ (-٣، ٠)، ب (٣، ٤)، جـ (١، -٦) هي رؤوس مثلث متساوي الساقين رأسه أ، ثم أوجد طول القطعة المستقيمة المرسومة من أ وعمودية على $\overline{ب \mathrm{جـ}}$.

أ ب = $\sqrt{{(\mathrm{٣} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٠} - \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٣}}$ وحدة طول.

أ جـ = $\sqrt{{(-\mathrm{٣} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٠} + \mathrm{٦})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٣}}$ وحدة طول.

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} - \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٤} + \mathrm{٦})}^{\mathrm{٢}}}=\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢٦}}$ وحدة طول

$\because$ أ ب = أ جـ $\therefore$ $△$ أ ب جـ متساوي الساقين.

ء منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = ($\frac{\mathrm{٣} +\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٤} - \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$) (٢، -١)

أ ء = $\sqrt{{(-\mathrm{٣} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٠} + \mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٢٦}}$ وحدة طول.

٦) إذا كانت أ (-١، -١)، ب (٢، ٣)، جـ (٦، ٠)، د (٣، -٤) أربع نقط في مستوى إحداثي متعامد. أثبت أن $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{ب د}$ ينصف كل منها الآخر، ثم عين نوع الشكل.

$\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = ($\frac{-\mathrm{١}+\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{١} + \mathrm{٠}}{\mathrm{٢}}$) = ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) (١)

$\overline{ب د}$ = ($\frac{\mathrm{٢}+\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٣} -\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$) = ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) (٢)

بما أن $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = منتصف $\overline{ب د}$

إذاً $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{ب د}$ ينصف كل منها الآخر، الشكل متوازي أضلاع.

٧) أثبت أن النقط أ (٥، ٣)، ب (٣، -٢)، جـ (-٢، -٤) هي رؤوس مثلث منفرج الزاوية في ب، ثم أوجد إحداثيي نقطة د التي تجعل الشكل أ ب جـ د معيناً وأوجد مساحة سطحه.

• أ ب = $\sqrt{{(\mathrm{٥} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٢٩}}$

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٢} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٢٩}}$

أ جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٥} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} + \mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}}}= \mathrm{٧}\sqrt{\mathrm{٢٧}}$

(أ ب)^٢ = ٢٩، (ب جـ)^٢ = ٢٩، (أ جـ)^٢ = ٩٨

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = ٢٩ + ٢٩ = ٥٨

(أ جـ)^٢ > (أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢

$\therefore$ $△$ منفرج الزاوية في ب

• م منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = $(\frac{\mathrm{٥} -\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٤}}{\mathrm{٢}})$ = ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)
• م منتصف $\overline{ب ء}$ = $(\frac{\mathrm{٣} + س}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{٢} + ص}{\mathrm{٢}})$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٣} + س}{\mathrm{٢}}$، $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{٢} + ص}{\mathrm{٢}}$

٣ + س = ٣، -٢ + ص = -١

س = ٣-٣ = ٠، ص = -١ + ٢ = ١

ب ء = $\sqrt{{(\mathrm{٣} - \mathrm{٠})}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٢} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}}}= \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$

مساحة المعين = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٧}\sqrt{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$= ٢١ وحدة.

٨) أ ب جـ د متوازي أضلاع فيه أ (٣، ٤)، ب (٢، -١)، جـ (-٤، -٣)، أوجد إحداثيي د. خذ هـ $\in$ $\underset{أ د}{\leftarrow }$ حيث أ هـ = ٢ أ د. ما إحداثيا النقطة هـ؟

• م منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = $(\frac{\mathrm{٢} + س}{\mathrm{٢}}، \frac{-\mathrm{١} + ص}{\mathrm{٢}})$

$\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٢} + س}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{١} + ص}{\mathrm{٢}}$

ء (-٣ ٢)

أ هـ = ٢ أ ء

ء منتصف $\overline{أ \mathrm{هـ}}$

ء (-٣ ٢) =

• $(\frac{\mathrm{٣} + ع}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٤} + ل}{\mathrm{٢}})$

$\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٢} + ع}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٤} + ل}{\mathrm{٢}}$

٣ + ع = -٦، ٤ + ل = ٤

ع = -٦ -٣ = -٩، ل = ٤ - ٤ = ٠