اختبار الوحدة

١) الشكل المقابل يمثل حرجة جسيم يتحرك بسرعة منتظمة (ع) حيث المسافة (ف) مقيسه بالمتر والزمن (ن) بالثانية؛ أوجد:

أ) المسافة عند بدء الحركة.

ن = ٠، ف = ٢م

ب) سرعة الجسيم.

سرعة الجسيم = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جـ) معادلة الخط المستقيم الممثل لحركة الجسيم.

ص = م س + جـ

ف = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ن + ٢

د) المسافة المقطوعة بعد ٤ ثوان من بدء الحركة.

٢ م

ف = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٤ + ٢ = ٤

منذ بدء الحركة ف = ٤ - ٢ = ٢م

هـ) الزمن الذي يقطع فيه الجسيم مسافة ٣,٥ من المتر من بدء الحركة.

ف = ٣,٥ + ٢ = ٥,٥

٥,٥ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ن + ٢

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ن + ٢ = ٥,٥

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ن = ٥,٥ - ٢

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ن = ٣,٥

ن = ٣,٥ ÷ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ن = ٧

٢) اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة:

أ) المستقيم الذي معادلته ٢س -٣ص -٦ = ٠ يقطع محور الصادات جزءاً طوله:

أ) -٦

ب) -٢

جـ) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

د) ٢

٢س - ٣ص - ٦ = ٠

الجزء المقطوع من محور الصادات = $\frac{\mathrm{الحد} \mathrm{المطلق}}{\mathrm{معامل} ص}$ = $\frac{- (-\mathrm{٦})}{-\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٦}}{-\mathrm{٣}}$= -٢

ب) إذا كان المستقيمان ٣س -٤ص - ٣ = ٠، ك ص + ٤س - ٨ = ٠ متعامدين فإن ك =

أ) -٤

ب) -٣

جـ) ٣

د) ٤

م_١ = $\frac{-\mathrm{٣}}{-\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$، م_٢ = $\frac{-\mathrm{٤}}{ك}$

متعامدين م_١ × م_٢ = -١

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{-\mathrm{٤}}{ك}$ = -١ $\Leftarrow$ $\frac{-\mathrm{٤}}{ك}$ = -١ ÷ $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{-\mathrm{٤}}{ك}$ = $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$$\Leftarrow$ ك = ٣

جـ) إذا كان المستقيمان س + ص = ٥، ك س + ٢ً = ٠ متوازيين فإن ك تساوي:

أ) -٢

ب) -١

جـ) ١

د) ٢

م_١ = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{١}}$ = -١، م_٢ = $\frac{-ك}{\mathrm{٢}}$

متوازيين م_١ = م_٢

$\frac{-ك}{\mathrm{٢}}$ = -١

ك = ٢

د) مساحة المثلث بالوحدات المربعة المحدد بالمستقيمات ٣س - ٤ص = ١٢، س = ٠، ص = ٠ يساوي:

أ) ٦

ب) ٧

جـ) ١٢

د) ٢

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ القاعدة × الارتفاع

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٤ × ٣ = ٦ وحدات مربعة.

هـ) $\overleftrightarrow{‌أ ب}$ مستقيم يمر بالنقطتين (٢، ٥)، (٥، ٢)؛ أي من النقط التالية $\in$ $\overleftrightarrow{‌أ ب}$

أ) (١، ٦)

ب) (٢، ٣)

جـ) (٠، ٠)

د) (٣، -٤)

ميل $\overleftrightarrow{‌أ ب}$ = $\frac{\mathrm{٥} - \mathrm{٢}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{-\mathrm{٣}}$ = -١

و) إذا كان أ (٣، ٥)، ب (٢، -١)، جـ (ٍس، ص) فإن إحداثيي نقطة جـ التي تجعل $△$ أ ب جـ قائم الزاوية في ب هي:

أ) (٦، -١)

ب) (-٤، ٥)

جـ) (٣، -٢)

د) (٨، -٢)

ميل $\overline{أ ب}$ = $\frac{-\mathrm{١} -\mathrm{٥}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٣}}=\frac{-\mathrm{٦}}{-\mathrm{١}}$ = ٦

٦ × ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = -١

ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

نعوض النقاط.

• (٦، -١)، (٢، -١)

$\frac{-\mathrm{١} + \mathrm{١}}{\mathrm{١} - \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{صفر}}{\mathrm{٤}}$ خطأ

• (٤، ٥)، (٢، -١)

$\frac{\mathrm{٥} + \mathrm{١}}{-\mathrm{٤} - \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٦}}{-\mathrm{٦}}$= -١ خطأ

• (٣، -٢)، (٢، -١)

$\frac{-\mathrm{٢} + \mathrm{١}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{١}}$ = -١ خطأ

• (٨، -٢)، (٢، -١)

$\frac{-\mathrm{٢} + \mathrm{١}}{\mathrm{٨} - \mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ الجواب الصحيح

٣) أ (٥، -٦)، ب (٣، ٧)، جـ (١، -٣)؛ فأوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة أ وبنقطة منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$.

الحل: ص = م س + جـ

منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = ($\frac{\mathrm{٣} + \mathrm{١}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٧} - \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) = (٢، ٢)

(٥، -٦)، (٢، ٢)

م = $\frac{-\mathrm{٦}-\mathrm{٢}}{\mathrm{٥} - \mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}$

ص = $\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}$س + جـ

٢ = $\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}$ × ٢ + جـ

٢ = $\frac{-\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}$ + جـ

جـ = ٢ + $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}$

جـ = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٣}}$

المعادلة هي: ص = $\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}$س + $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٣}}$

٤) أوجد معادلة الخط المستقيم العمودي على $\overline{أ ب}$ من نقطة منتصفها حيث أ (١، ٣)، ب (٣، ٥)

الحل: ص = م س + جـ

ميل $\overline{أ ب}$ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٥}}{\mathrm{١} - \mathrm{٣}}=\frac{-\mathrm{٢}}{-\mathrm{٢}}$ = ١

ميل العمودي = -١

منتصف $\overline{أ ب}$ = ($\frac{\mathrm{١} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٣} + \mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$) = (٢، ٤)

ص = - س + جـ

ع = -٢ + جـ

٤ + ٢ = جـ

جـ = ٦

المعادلة هي: ص = - س + ٦

٥) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (٣، -٥) ويوازي المستقيم س + ٢ص - ٧ = ٠

الحل: ص = م س + جـ

ميل المستقيم المعطى = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

المستقيمان متوازيان.

م = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

(٣، -٥) تحقق العلاقة.

ص = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + جـ

-٥ = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٣ + جـ

-٥ = $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ × جـ

جـ = -٥ + $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

جـ = $\frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$

ص = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س - $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$

٦) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين (٤، -٢)، (-٢، -١) ثم أثبت أنه يمر بنقطة الأصل.

المعادلة ص = م س + جـ

م = $\frac{\mathrm{٢} + \mathrm{١}}{\mathrm{٤} + \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

(٤، ٢) تحقق المعادلة.

ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + جـ

٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (٤) + جـ

٢ = ٢ + جـ

جـ = ٢ - ٢

جـ = ٠

المعادلة هي: ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + ٠

٧) أوجد معادلة المستقيم الذي يقطع من محوري الإحداثيات السيني والصادي جزءين موجبين طولهما ٤، ٩ على الترتيب.

ص = م س + جـ، جـ = ٩

(٤، ٠)، (٠، ٩)

م = $\frac{\mathrm{٩} - \mathrm{٠}}{\mathrm{٠} - \mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٩}}{-\mathrm{٤}}=\frac{-\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$

$\therefore$ ص = $\frac{-\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$س + ٩

٨) أ ب جـ مثلث فيه أ (١، ٢)، ب (٥، -٢)، جـ (٣، ٤)، د منتصف $\overline{أ ب}$، رسم $\underset{د \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ // $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$ ويقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في هـ؛ أوجد معادلة المستقيم $\underset{د \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$

المعادلة هي ص = م س + جـ

ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\frac{-\mathrm{٢} -\mathrm{٤}}{\mathrm{٥} - \mathrm{٣}}=\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$ = -٣

$\because$ $\underset{د \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ // $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ميل $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ = -٣

ء منتصف $\overline{أ ب}$ = ($\frac{\mathrm{١} + \mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}، \frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$) = (٣، ٠)

ص = -٣س + جـ

٠ = -٣ × ٣ + جـ

٠ = -٩ + جـ

جـ = ٩

المعادلة هي ص = -٣ س + ٩

٩) أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين (٢، ٣)، (٠، ٠) يوازي المستقيم المار بالنقطتين (-١، ٤)، (١، ٧).

م_١ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٠}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

م = $\frac{\mathrm{٤} - \mathrm{٧}}{-\mathrm{١} -\mathrm{١}}=\frac{-\mathrm{٣}}{-\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

م_١ = م_٢ $\therefore$ المستقيمان متوازيان.

١٠) أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين (٢، -١)، (٦، ٣) يوازي المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها ٤٥° مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

م_١ = $\frac{-\mathrm{١}- \mathrm{٣}}{\mathrm{٢} -\mathrm{٦}}=\frac{-\mathrm{٤}}{-\mathrm{٤}}$ = ١

م_٢ = ظا ٤٥° = ١

$\because$ م_١ = م_٢

$\therefore$ المستقيمان متوازيان.

١١) إذا كان المستقيم $\overleftrightarrow{أ ب}$ // محور الصادات، حيث أ (س، ٧)، ب (٣، ٥) فأوجد قيمة س.

$\because$ $\overleftrightarrow{أ ب}$ // محور الصادات

$\therefore$ س_١ = س_٢

س = ٣

١٢) إذا كان المستقيم $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$ // محور السينات، حيث جـ (٤، ٢)، د (-٥، ص) فأوجد قيمة ص.

$\because \overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ // محور السينات

ص_١ = ص_٢

٢ = ص

١٣) أوجد ميل المستقيم العمودي على المستقيم المار بالنقطتين (٣، -٢)، (٥، ١).

ميل المستقيم المعطى = $\frac{-\mathrm{٢} -\mathrm{١}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٥}}=\frac{-\mathrm{٣}}{-\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

ميل العمودي = $\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

١٤) في الشكل المقابل أوجد:

أ) ميل الخط المستقيم (م).

$=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ب) طول الجزء المقطوع من محور الصادات (جـ).

٣ وحدات

جـ) معادلة الخط المستقيم بمعلومية م، جـ.

ص = م س + جـ

ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ س + ٣

د) طول الجزء المقطوع من محور السينات.

$\left|-\mathrm{٦}\right|$ = ٦ وحدات.

هـ) مساحة المثلث المحدد بالخط المستقيم والجزءين المقطوعين من محوري الإحداثيات.

نضع ص = ٠

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ س + ٣ = ٠

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ س = -٣

س = - ٣ ÷ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

س = -٦