الدرس الثالث: ميل الخط المستقيم

أولاً: أكمل ما يأتي:

١) إذا كان $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$ وكان ميل $\overleftrightarrow{أ ب}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ فإن ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$ يساوي ......

$\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$

م_٢ = م_٢

الجواب: $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

٢) إذا كان $\overleftrightarrow{أ ب}$ $\perp$ $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$ وكان ميل $\overleftrightarrow{أ ب}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ فإن ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$ يساوي ......

$\overleftrightarrow{أ ب}$ $\perp$ $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$

م_٢ × م_٢ = -١

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × م_٢ = -١

م_٢ = -١ ÷ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = -٢

٣) ميل المستقيم الموازي للمستقيم المار بالنقطتين (٢، ٣)، (-٢، ٣) يساوي ......

ميل المستقيم = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٣}}{\mathrm{٢} + \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{صفر}}{\mathrm{٤}}$ = صفر

ميل الموازي = صفر.

٤) إذا كان المستقيم $\overleftrightarrow{أ ب}$ يوازي محور السينات حيث أ (٨، ٣)، ب (٢، ك) فإن ك = ........

$\overline{ص}$ // محور السينات.

ص_١ = ص_٢ $\Leftarrow$ ٣ = ك

٥) إذا كان المستقيم $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$ يوازي محور الصادات حيث أ (م، ٤)، ب (-٥، ٧) فإن م تساوي ........

$\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} د}$ // محور الصادات

س_١ = س_٢ $\Leftarrow$ م = -٥

٦) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب فيه أ (١، ٤)، ب (-١، -٢) فإن ميل $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$ يساوي .......

ميل $\overline{أ ب}$ = $\frac{\mathrm{٤} + \mathrm{٢}}{\mathrm{١} + \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$ = ٣

$\overline{أ ب}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

٣ × م_٢ = -١$\Leftarrow$ م_٢ = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

٧) إذا كان المستقيم المار بالنقطتين (أ، ٠)، (٠، ٣) والمستقيم الذي يصنع زاوية قياسها ٣٠° مع الاتجاه الموجب لمحور السينات متعامدين فإن أ = ......

م_١ = $\frac{\mathrm{٠} -\mathrm{٣}}{أ - \mathrm{٠}}=\frac{-\mathrm{٣}}{أ}$، م_٢ = ظا ٣٠° = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{-\mathrm{٣}}{أ}$× $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$ = -١ $\Leftarrow$ $\frac{-\mathrm{٣}}{أ}$ = -١ ÷ $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{-\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{١}} = \frac{-\mathrm{٣} \times \mathrm{١}}{-\sqrt{\mathrm{٣}}}$ = $\sqrt{\mathrm{٣}}$

ثانياً:

١) أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين أ (-٣، ٤)، جـ (-٣، -٢) عمودي على المستقيم المار بالنقطتين ب (١، ٢)، د (-٣، ٢)

ميل $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٤} + \mathrm{٢}}{-\mathrm{٣} + \mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{صفر}}$ غير معروف.

$\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$ // محور الصادات (١)

ميل $\overleftrightarrow{ب ء}$ = $\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٢}}{\mathrm{١} + \mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{صفر}}{\mathrm{٤}}$ = صفر.

$\overleftrightarrow{ب ء}$ // محور السينات (٢)

إذاً $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$$\perp$ $\overleftrightarrow{ب ء}$

٢) إذا كانت أ (-١، -١)، ب (٢، ٣)، جـ (٦، ٠) أثبت أن المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب.

ميل $\overline{أ ب}$ = $\frac{-\mathrm{١} - \mathrm{٣}}{-\mathrm{١} - \mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{٤}}{-\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$

ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٠}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٣}}{-\mathrm{٤}}=\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

ميل $\overline{أ ب}$ × ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}\times \frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = -١

$\overline{أ ب}$ $\perp$$\overline{ب \mathrm{جـ}}$

إذا المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب

٣) إذا كان المستقيم ل_١ يمر بالنقطتين (٣، ١)، (٢، ك) والمستقيم ل_٢ يصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها ٤٥°؛ فأوجد قيمة ك إذا كان المستقيمان ل_١، ل_٢:

م_٢ = $\frac{ك - \mathrm{١}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٣}}=\frac{ك - \mathrm{١}}{- \mathrm{١}}$، م_٢ = ظا ٤٥° = ١

أ) متوازيين

م_١ = م_٢

$\frac{ك - \mathrm{١}}{- \mathrm{١}}= \mathrm{١}$

ك - ١ = -١

ك = -١ + ١ = صفر.

ب) متعامدين

م_١ = م_٢

$\frac{ك - \mathrm{١}}{- \mathrm{١}}$ × ١ = -١

$\frac{ك - \mathrm{١}}{- \mathrm{١}}$ = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{١}}$

ك - ١ = +١

ك = ١ + ١ = ٢

٤) إذا كانت النقط (٠، ١)، (أ، ٣)، (٢، ٥) تقع على استقامة واحدة فأوجد قيمة أ.

م_١ = $\frac{\mathrm{١} - \mathrm{٥}}{\mathrm{٠} - \mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{٤}}{-\mathrm{٢}}$ = ٢

م_٢ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{١}}{أ - \mathrm{٠}}=\frac{\mathrm{٢}}{أ}$

$\therefore$ النقط على استقامة واحدة

م_١ = م_٢

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٢}}{أ}$

أ = ١

٥) أثبت أن النقط أ (-١، ١)، ب (٠، ٥)، جـ (٤، ٢)، د (٥، ٦) هي رؤوس لمتوازي أضلاع.

ميل $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٦}}{\mathrm{٤} - \mathrm{٥}}=\frac{-\mathrm{٤}}{-\mathrm{١}}$ = ٤

ميل $\overline{ب أ}$ = $\frac{\mathrm{١} - \mathrm{٥}}{-\mathrm{١}- \mathrm{٠}}=\frac{-\mathrm{٤}}{-\mathrm{١}}$ = ٤

$\overline{ء \mathrm{جـ}}$ // $\overline{ب أ}$ (١)

ميل $\overline{ء ب}$ = $\frac{\mathrm{٥} - \mathrm{٦}}{\mathrm{٠} - \mathrm{٥}}=\frac{-\mathrm{١}}{-\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

ميل $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{١} - \mathrm{٢}}{-\mathrm{١} - \mathrm{٤}}=\frac{-\mathrm{١}}{-\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

$\overline{ء ب}$ // $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ (٢)

$\therefore$ أ ب جـ ء متوازي أضلاع

٦) أثبت باستخدام الميل أن النقط أ (-١، ٣)، ب (٥، ١)، جـ (٦، ٤)، د (٠، ٦) هي رؤوس مستطيل.

ميل $\overline{ب أ}$ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{١}}{-\mathrm{١} - \mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٢}}{-\mathrm{٦}}=\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = ٤

ميل $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ = $\frac{\mathrm{٤} - \mathrm{٦}}{\mathrm{٦}- \mathrm{٠}}=\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = ٤

$\overline{ب أ}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ (١)

ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{١} - \mathrm{٤}}{\mathrm{٥} - \mathrm{٦}}=\frac{-\mathrm{٣}}{-\mathrm{١}}$ = ٣

ميل $\overline{أ ء}$ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٦}}{-\mathrm{١} -\mathrm{٠}}=\frac{-\mathrm{٣}}{-\mathrm{١}}$ = ٣

$\overline{ب \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ ء}$ (٢)

ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ × ميل $\overline{ب أ}$

٣ × $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = -١

$\therefore$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ $\perp$$\overline{ب أ}$ (٣)

من ١) و٢) و٣) أ ب جـ ء مستطيل.

٧) في الشكل المرسوم: أ ب جـ د شبه منحرف فيه $\overline{أ ب}$ // $\overline{\mathrm{جـ} د}$، أ (٩، -٢)، ب (٣، ٢)، جـ (س، س)، د (٤، -٣)، فأوجد إحداثيي نقطة جـ.

$\overline{ب أ}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

ميل ص = ميل $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\frac{-\mathrm{٢}-\mathrm{٢}}{\mathrm{٩} -\mathrm{٣}}=\frac{-س+\mathrm{٣}}{س - \mathrm{٤}}$

$\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}=\frac{-س+\mathrm{٣}}{س -\mathrm{٤}}$

$\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{-س+\mathrm{٣}}{س -\mathrm{٤}}$

-٢ (س - ٤) = ٣ (-س + ٣)

-٢س + ٨ = -٣س + ٣

-٢س + ٣س = ٩ - ٨

س = ١

جـ = (س، -س) = (١، -١)

٨) أثبت أن النقط أ (٤، ٣)، ب (٧، ٠)، جـ (١، -٢) هي رؤوس مثلث. وإذا كانت نقطة د (١، ٢) فأثبت أن الشكل أ ب جـ د شبه منحرف وأوجد النسبة بين أ د، ب جـ.

ميل $\overline{أ ب}$ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٠}}{\mathrm{٤} - \mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٣}}{-\mathrm{٣}}$ = -١

ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٠} + \mathrm{٢}}{\mathrm{٧}- \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

$\overline{أ ب}$ $\ne$ ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

إذاً أ، ب، جـ، ء ليست على استقامة واحدة.

أ، ب، جـ رؤوس مثلث

ميل $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ = $\frac{-\mathrm{٢} - \mathrm{٢}}{\mathrm{١} - \mathrm{١}}=\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{صفر}}$

ميل $\overline{أ ء}$ = $\frac{\mathrm{٣} - \mathrm{٢}}{\mathrm{٤} - \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

$\overline{أ ء}$//$\overline{\mathrm{جـ} ء}$ (١)

$\overline{أ ب}$ $\ne$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\overline{أ ب}$ لا يوازي $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ (٢)

من ١، ٢ إذاً أ ب جـ ء شبه منحرف

• نسبة أ ء، ب جـ

أ ء = $\sqrt{{(\mathrm{٤} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} - \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{١٠}}$

ب جـ = $\sqrt{{(\mathrm{٧} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٠} + \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{١٠}}$

$\frac{أ ء}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{\bcancel{\sqrt{\mathrm{١٠}}}}{\mathrm{٢}\bcancel{\sqrt{\mathrm{١٠}}}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$