نماذج اختبارات الهندسة النموذج الثاني

أجب عن جميع الأسئلة الآتية:

السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

(١) ٢ جا ٣٠° ظا ٦٠°

أ) $\sqrt{\mathrm{٣}}$

ب) ٣

جـ) $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

د) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\bcancel{\mathrm{٢} }\times \frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}\times \sqrt{\mathrm{٣}} = \sqrt{\mathrm{٣}}$

(٢) معادلة المستقيم المار بالنقطة (-٢، -٣) ويوازي محور السينات هي ......

أ) س = -٢

ب) س = -٣

جـ) ص = -٢

د) ص = -٣

(٣) إذا كان جتا س = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$، س زاوية حادة فإن جا ٢س = ......

أ) ١

ب) $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

جـ) -٢

د) $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

جتا س = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$، س = ٣٠°

جا ٢ × ٣٠° = جا ٦٠° = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

(٤) دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ٢ وحدة طول فإن النقطة ...... تنتمي إليها

أ) (١، -٢)

ب) (-٢، $\sqrt{\mathrm{٥}}$)

جـ) ($\sqrt{\mathrm{٣}}$، ١)

د) (٠، ١)

٢ = $\sqrt{{(س - \mathrm{٠})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٠} - ص)}^{\mathrm{٢}}}$ = $\sqrt{{س}^{\mathrm{٢}} + {ص}^{\mathrm{٢}}}$ = $\sqrt{{\left(\sqrt{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٢}}+ {\left(\mathrm{١}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٤}}$= ٢

(٥) البعد العمودي بين المستقيمين س - ٢ = ٠، س + ٣ = ٠ يساوي ......

أ) ١

ب) ٥

جـ) ٢

د) ٣

(٦) إذا كان المستقيمان اللذان ميلاهما $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٦}}{ك}$ متوازيان فإن ك = ......

أ) ٦

ب) -٤

جـ) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

د) ٢

م_١ = م_٢

$\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٦}}{ك}$

ك = $\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٦}}{-\mathrm{٣}}$ = -٤

السؤال الثاني:

(أ) إذا كان جتا هـ ظا ٣٠° = جتا ٤٥° فأوجد ق ($\angle$ هـ) حيث هـ زاوية حادة

جتا هـ ظا ٣٠° = جتا ٤٥°

جتا هـ × $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$ = ($\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$)^٢

جتا هـ × $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جتا هـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{١}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

جتا هـ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

ق ($\angle$ هـ) = ٣٠°

(ب) بين نوع المثلث الذي رؤوسه النقط أ (٣، ٣)، ب (١، ٥)، جـ (١، ٣) من حيث أطوال أضلاعه.

$\overline{أ ب}$ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} - \mathrm{٥})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}} + {(-\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٨}}$ وحدة طول.

$\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\sqrt{{(\mathrm{١} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٥} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{{\left(\mathrm{٠}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٤}}$ وحدة طول.

$\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = $\sqrt{{(\mathrm{٣} -\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} + {(\mathrm{٣} - \mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٠}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٤}}$ وحدة طول.

$\because$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore △$ أ ب جـ متساوي الساقين.

السؤال الثالث:

(أ) أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (١، ٣)، (-١، -٣) ثم أثبت أنه يمر بنقطة الأصل.

جـ = ؟، م = ؟.

م = $\frac{{ص}_{\mathrm{٢}} - {ص}_{\mathrm{١}}}{{س}_{\mathrm{٢}} - {ص}_{\mathrm{١}}}=\frac{-\mathrm{٣} -\mathrm{٣}}{-\mathrm{١} -\mathrm{١}}=\frac{-\mathrm{٦}}{-\mathrm{٢}}$ = ٣

المعادلة هي: ص = ٣س + جـ

٣ = ٣ × ١ + جـ

٣ = ٣ + جـ

٣ - ٣ = جـ

جـ = ٠

المعادلة المطلوبة ص = ٣س

الجزء المقطوع من محور الصادات = صفر.

المستقيم يمر بنقطة الأصل.

(ب) إذا كانت النقطة (٣، ١) في منتصف البعد بين النقطتين (١، ص)، (س، ٣) أوجد النقطة (س، ص).

$\frac{\mathrm{١} + س}{\mathrm{٢}}=\mathrm{٣}$

١ + س = ٦

س = ٦ - ١ = ٥

$\frac{ص + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ = ١

ص + ٣ = ٢

ص = -١

(٥، -١)

السؤال الرابع:

(أ) أوجد معادلة المستقيم الذي يقطع من محوري الإحداثيات السيني والصادي جزءين موجبين طوليهما ١، ٤ وحدات طول على الترتيب ثم أوجد ميل هذا المستقيم.

(١، ٠)، (٠ ٤)

م = $\frac{{ص}_{\mathrm{٢}} - {ص}_{\mathrm{١}}}{{س}_{\mathrm{٢}} - {ص}_{\mathrm{١}}}=\frac{\mathrm{٤} -\mathrm{٠}}{\mathrm{٠}-\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٤}}{-\mathrm{١}}$ = -٤

المعادلة هي: ص = -٤س + جـ

بالتعويض بـ (١، ٠)

٠ = -٤ × ١ + جـ

٠ = -٤ + جـ

جـ = ٤

المعادلة المطلوبة ص = -٤س + ٤

(ب) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب فيه أ جـ = ١٠ سم، ب جـ = ٨ سم أثبت أن جا^٢ أ + ١ = ٢ جتا^٢ جـ + جتا^٢ أ

من نظرية فيثاغورث

(أ ب)^٢ = (١٠)^٢ - (٨)^٢

(أ ب)^٢ = ١٠٠ - ٦٤

(أ ب)^٢ = ٣٦

أ ب = $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦ سم.

الطرف الايمن = جا^٢ أ + ١ = ($\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}$)^٢ + ١ = $\frac{\mathrm{٤١}}{\mathrm{٢٥}}$

الطرف الأيسر = ٢ جتا^٢ جـ + جتا^٢ أ = ٢ × ($\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}$)^٢ + ($\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}$)^٢ = $\frac{\mathrm{٤١}}{\mathrm{٢٥}}$

الطرفان متساويان.

السؤال الخامس:

(أ) أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين (-١، ٣)، (٢، ٤) يوازي المستقيم ٣ص - س - ١ = ٠

م_١ = $\frac{{ص}_{\mathrm{٢}} - {ص}_{\mathrm{١}}}{{س}_{\mathrm{٢}} - {ص}_{\mathrm{١}}}=\frac{\mathrm{٤} -\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}-(-\mathrm{١})}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

م_٢ = $\frac{- \mathrm{معامل} س}{\mathrm{معامل} ص}=\frac{-(-\mathrm{١})}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

$\because$ م_١ = م_٢

$\therefore$ ل_١ // ل_٢

(ب) أ ب جـ ء شبه منحرف فيه $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ ب) = ٩٠°، أ ب = ٣سم، ب جـ = ٦سم، أ ء = ٢ سم، أوجد طول $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ ثم أوجد قيمة جتا $\angle$ ب جـ ء

• حساب ء جـ من نظرية فيثاغورث

(ء جـ)^٢ = (٣)^٢ + (٤)^٢ = ٩ + ١٦ = ٣٥

ء جـ = $\sqrt{\mathrm{٢٥}}=$ ٥ سم.

• جتا $\angle$ ب جـ ء

جتا $\angle$ ب جـ ء = $\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

ق ($\angle$ ب جـ ء) = ١٢ ً ٥٢ َ ٣٦°