الدرس الرابع: نظرية إقليدس

١) في الشكل المقابل: $△$ أ ب جـ فيه: ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٩٠°، أ ب = ٤سم، أ جـ = ٥سم، $\overline{ب ء}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ أكمل:

أ) ب جـ = ..... سم

ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٩٠°

ب جـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٤}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٣سم.

ب) أ ء = .... سم

$\overline{ب ء}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

(أ ب)^٢ = أ ء × أ جـ

(٤)^٢ = أ ء × ٥

١٦ = ٥ أ ء

أ ء = $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٥}}$ = ٣,٢

جـ) ب ء = .... سم

ب ء = $\frac{أ ب \times ب \mathrm{جـ}}{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٤} \times \mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ = ٢,٤ سم.

د) مساحة $△$ ء ب جـ = .... سم^٢

مساحة $△$ ء ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ب ء × ء جـ

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٢,٤ × ١,٨

= ٢,١٦ سم^٢

٢) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شكل رباعي فيه: ق ($\angle$ ب جـ ء) = ق ($\angle$ ب أ ء) = ٩٠°

$\overline{أ \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{ب ء}$، ب جـ = ٧سم، جـ ء = ٢٤ سم، أ ب = ١٥سم.

أوجد:

أ) طول كل من: $\overline{ب ء}$، $\overline{أ ء}$

ق ($\angle$ ب جـ ء) = ٩٠°

ب ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{٧}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٢٤}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٥سم.

ق ($\angle$ ب أ ء) = ٩٠°

أ ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{٢٥}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{١٥}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٠ سم.

ب) طول مسقط $\overline{أ ب}$ على $\overleftrightarrow{ب ء}$

(أ ب)^٢ = ب هـ × ب ء

(١٥)^٢ = ب هـ × ٢٥

٢٢٥ = ٢٥ ب هـ

ب هـ = ٩سم.

جـ) طول مسقط $\overline{أ ء}$ على $\overleftrightarrow{أ \mathrm{هـ}}$

أ هـ = $\frac{أ ب \times أ ء}{ب ء}=\frac{\mathrm{١٥} \times \mathrm{٢٠}}{\mathrm{٢٥}}$ = ١٢سم.

٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء متوازي أضلاع، أ ب = ٦سم، أ ء = ١٠سم، $\overline{ء ب}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، رسم $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ أوجد:

أ) مساحة متوازي الأضلاع أ ب جـ ء.

ق ($\angle$ أ ب ء) = ٩٠°

ب ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٠}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٦}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٨ سم.

$\therefore$ مساحة $▱$ أ ب جـ ء = أ ب × ب ء = ٦ × ٨ = ٤٨سم

ب) طول مسقط $\overline{ء ب}$ على $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$.

$\because$ الشكل أ ب جـ ء متوازي أضلاع

$\therefore$ ء جـ = ٦سم. ب جـ = ١٠سم.

$\because$$\overline{‌أ ب}$ // $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، $\overline{ب ء}$ قاطع لهما

$\therefore$ ق ($\angle$ ب ء جـ) = ق ($\angle$ أ ب ء) = ٩٠° بالتبادل

$\because$ $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

(ب ء)^٢ = ب هـ × ب جـ

(٨)^٢ = ب هـ × ١٠

ب هـ = ٦,٤ سم.

جـ) طول $\overline{ء \mathrm{هـ}}$

ء هـ = $\frac{ب \mathrm{جـ} \times \mathrm{جـ} ء}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}$ = $\frac{\mathrm{٤٨}}{\mathrm{١٠}}$ = ٤,٨

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شبه منحرف فيه $\overline{أ ب}$ // $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٩٠°، هـ منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، أ ب = ١٦سم، أ ء = ٢٥ سم، ء جـ = ٩سم، $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{هـ} ء}$، $\overline{\mathrm{هـ} و}$ $\perp$ $\overline{أ ء}$

أوجد:

أ) مساحة شبه المنحرف أ ب جـ ء

$\because$ ق ($\angle$ أ هـ ء) = ٩٠°

$\therefore$ (أ ء)^٢ = (أ هـ)^٢ + (ء هـ)^٢ (١)

$\because$ ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٩٠°

$\therefore$ (ء هـ)^٢ = (ء هـ)^٢ + (جـ هـ)^٢ (٢) $\because$ ق ($\angle$ أ ب هـ) = ٩٠°

$\therefore$ (أ هـ)^٢ = (أ ب)^٢ + (ب هـ) (٣)

من ١) و٢) و٣)

(أ ء)^٢ = (أ ب)^٢ + (ب هـ)^٢ + (ء جـ)^٢ + (جـ هـ)^٢

$\therefore$ (٢٥)^٢ = (١٦)^٢ + (ب هـ)^٢ + (٩)^٢ + (جـ هـ)^٢

$\therefore$ ٦٢٥ = ٢٥٦ + ٨١ + (ب هـ)^٢ + (جـ هـ)^٢

٦٢٥ = ٣٣٧ + (ب هـ)^٢ + (جـ هـ)^٢

(ب هـ)^٢ + (جـ هـ)^٢ = ٦٢٥ - ٣٣٧ = ٢٨٢

(ب هـ)^٢ = (جـ هـ)^٢

(ب هـ)^٢ = (جـ هـ)^٢ = ١٤٤

ب هـ = جـ هـ = ١٢

ب) طول مسقط $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ على $\overleftrightarrow{أ ء}$

ق ($\angle$ أ ب هـ) = ٩٠°

أ هـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{٣٦}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٠ سم.

ق ($\angle$ أ هـ ء) = ٩٠°، $\overline{\mathrm{هـ} ء}\perp \overline{أ ء}$

$\therefore$ (أ هـ)^٢ = أ و × أ ء

$\therefore$ (٢٠)^٢ = أ و × ٢٥

٤٠٠ = ٢٥ أو

أ و = ١٦سم