اختبار الوحدة الخامسة

١) في الشكل المقابل: ق ($\angle$ أ هـ ء)، أ ء = ٣سم، أ هـ = ٤,٥سم، ب ء = ٦سم

أولاً: برهن أن $△$ أ ء هـ $~$ $△$ أ جـ ب

بما أن ق ($\angle$ أ هـ ء) = ق ($\angle$ ب)

$\angle$ أ مشتركة

إذاً ق ($\angle$ أ ء هـ) = ق ($\angle$ جـ)

إذاً $△$ أ ء هـ $~$ $△$ أ جـ ب

ثانياً: أوجد طول $\overline{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}$

بما أن $△$ أ ء هـ $~$ $△$ أ جـ ب

$\frac{أ ء}{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{ء \mathrm{هـ}}{\mathrm{جـ} ب}$ = $\frac{أ \mathrm{هـ}}{أ ب}$

$\frac{\mathrm{٣}}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$

٤,٥ أ جـ = ٢٧

أ جـ = $\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}$ = ٦سم.

إذاً هـ جـ = أ جـ - أ هـ

= ٦ - ٤,٥

= ١,٥

٢) في الشكل المقابل: إذا كان الشكل أ ب جـ ء $~$ الشكل س ص ع ل.

أ) احسب ق ($\angle$ ب جـ ء)

بما أن الشكل أ ب جـ ء $~$ الشكل س ص ع ل

$\therefore$ ق ($\angle$ ء) = ٨٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ب جـ ء) = ٣٦٠° - (٧٠ + ٢٥ + ٨٠) = ٨٥°

ب) احسب طول $\overline{س ل}$ وحدد نسبة التكبير.

$\because$ $\frac{ب \mathrm{جـ}}{ص ع}=\frac{أ ء}{س ل}$

$\therefore$ $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤},\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٦}}{س ل}$

$\therefore$ س ل = $\frac{\mathrm{٤},\mathrm{٢} \times \mathrm{٦}}{\mathrm{٨}}$ = ١,٨ سم

نسبة التكبير = $\frac{ب \mathrm{جـ}}{ص ع}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤},\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣}}$

جـ) إذا كان محيط الشكل أ ب جـ ء = ٢٦ سم. فما محيط الشكل س ص ع ل.

$\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{الشكل} أ ب \mathrm{جـ} ء}{\mathrm{محيط} \mathrm{الشكل} س ص ع ل}$ = نسبة التكبير

$\frac{\mathrm{٢٦}}{\mathrm{محيط} \mathrm{الشكل} س ص ع ل}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣}}$

محيط الشكل س ص ع ل = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{٢٦}}{\mathrm{١٠}}$ = ٧,٨ سم^٢

٣) في الشكل المقابل: $\overline{ب \mathrm{هـ}}$ $\cap$ $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ = {أ} ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ هـ) = ٩٠°

أ) أثبت أن: $△$ أ ب جـ $~$ $△$ أ هـ ء

$\because$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ هـ)

$\because$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ هـ أ ء) بالتبادل بالرأس

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ ء)

$\therefore$ $△$ أ ب جـ $~$ $△$ أ هـ ء

ب) أوجد ناتج: ب هـ، أ جـ

$\because$ $△$ أ هـ ء قائم في هـ

$\therefore$ أ ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{٤}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥سم.

$\therefore$ $\frac{أ ب}{أ \mathrm{هـ}}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{\mathrm{هـ} ء}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{أ ء}$

$\therefore$ $\frac{أ ب}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٤}}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{\mathrm{٥}}$

$\therefore$ أ ب = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{١٢}}{\mathrm{٤}}$ = ٩سم.

ب هـ = ٩ + ٣ = ١٢سم.

$\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٤}}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{\mathrm{٥}}$

أ جـ = $\frac{\mathrm{٥} \times \mathrm{١٢}}{\mathrm{٤}}$ = ١٥سم.

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شبه منحرف فيه $\overline{أ ب}$ // $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ء \mathrm{جـ}}$

أولاً: أوجد

أ) طول كل من $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$، $\overline{أ ب}$

$\because$ $\overline{أ ب}$ // $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ء \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ الشكل أ ء هـ ب مستطيل

$\therefore$ ب هـ = أ ء = ١٢ سم. أ ب = ء هـ

$\because$$△$ ب هـ جـ قائم في ب هـ جـ

$\therefore$ هـ جـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٣}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥سم.

$\therefore$ ء هـ = ء جـ - هـ جـ

٣٣,٨ - ٥ = ٢٨,٨ سم.

أ ب = ء هـ = ٢٨,٨

ب) طول $\overline{ء ب}$

$\because$$△$ ب هـ ء قائم في ب هـ ء

$\therefore$ ب ء = $\sqrt{(\mathrm{٨},\mathrm{٢٨}) + {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٣١,٢

جـ) طول مسقط $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ على $\overleftrightarrow{أ ب}$

طول مسقط $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ على $\overleftrightarrow{أ ب}$ = طول $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ = ٣٣,٨ سم. لأن $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ ب}$

ء) مساحة شبه منحرف أ ب جـ ء

المساحة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (٢٨,٨ + ٣٣,٨) × ١٢ = ٣٧٥,٦ سم^٢

ثانياً: أثبت أن: ق ($\angle$ ء ب جـ) = ٩٠°

في $△$ ء ب جـ

$\because$ (ء جـ)^٢ = (٣٣,٨)^٢ = ١١٤٢,٤٤

(ء ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = (٣١,٢)^٢ + (١٣)^٢ = ١١٤٢,٤٤

$\therefore$ (ء جـ)^٢ = (ء ب)^٢ + (ب جـ)^٢

إذا ق (ء ب جـ) = ٩٠°

٥) في الشكل المقابل أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في أ، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، ب ء = ١٦سم، ء جـ = ٩سم أوجد طول كل من $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ ء}$ واحسب مساحة المثلث أ ب جـ

البرهان:

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٩٠°، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ (مثلث نظرية إقليدس)

• $\therefore$ (أ ب)^٢ = ب ء × ب جـ

(أ ب)^٢ = ١٦ × ٢٥

أ ب = $\sqrt{\mathrm{١٦} \times \mathrm{٢٥}}$ = ٤ × ٥ = ٢٠ سم.

• (أ جـ)^٢ = جـ ء × ب جـ

(أ جـ)^٢ = ٩ × ٢٥

أ جـ = $\sqrt{\mathrm{٩} \times \mathrm{٢٥}}$ = ٣ × ٥ = ١٥ سم.

• (أ ء)^٢ = ب ء × جـ ء

(أ ء)^٢ = ١٦ × ٩

أ ء = $\sqrt{\mathrm{١٦} \times \mathrm{٩}}$ = ٤ × ٣ = ١٢ سم.

• مساحة $△$ أ ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ × أ ء = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٢٥ × ١٢ = ١٥٠ سم^٢